Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Alguém poderia me explicar essa questão ?
A função f definida no conjunto dos pares ordenados de números inteiros satisfaz às seguintes condições:f(x, x) = x, f(x, y) = f(y, x) e (x + y) f(x, y) = yf(x, x + y). Calcule f(14,15)

Considerando as três propriedades dadas:
(1) f(x,x)=x
(2) f(x,y)=f(y,x)
(3) (x+y)f(x,y)=yf(x,x+y) \(\Leftrightarrow f(x,x+y)=\frac{x+y}{y}f(x,y)\)

Temos que:

\(\begin{array}{llc}
f(14,15)&=f(14,14+1)&\\
&=15f(14,1) & \mbox{ por (3)}\\
&=15f(1,14) & \mbox{ por (2)}\\
&=15f(1,1+13) &\\
&=15\times\frac{14}{13}\times f(1,13) &\mbox{ por (3)}\\
&=15\times\frac{14}{13}\times f(1,1+12) &\\
&=15\times\frac{14}{13}\times\frac{13}{12}\times f(1,12) &\mbox{ por (3)}\\
&=\cdots &
\end{array}\)

É capaz de continuar?

Sim, consigo terminar, muito obrigado! Masse fosse um número maior, haveria outra forma
de resolver essa questão de maneira menos trabalhosa ? Mais uma vez, obrigado!

Nesse caso podia-se demonstrar por indução que f(1,n)=n para qualquer inteiro positivo n.

Ah,sim! Obrigado, esse artifício usado para resolver a questão é o produto telescópico, né ?