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Funções derivadas para exame amanhã
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Autor:  couldzao [ 18 mai 2014, 17:04 ]
Título da Pergunta:  Funções derivadas para exame amanhã
Boa tarde,

Não sei se isto terá muito haver com derivadas, mas pelo menos aparece no "dominio" das derivadas no livro, espero que me possam ajudar..

Precisava de ajuda nos exercícios 26,27 e 28 (com prioridade para 26 e 27), no entanto se não me puderem ajudar em todos eu compreendo.
Os exercicios estão aqui: http://postimg.org/image/ioud7majn/0d6d82ff/

Esta matéria vai sair num teste que eu vou ter amanhã e precisava de ajuda com a máxima urgência

Obrigado ai galera :y:
Autor:  Rilke [ 18 mai 2014, 21:38 ]
Título da Pergunta:  Re: Funções derivadas para exame amanhã
Exercício 26
Considera todos os cilindros de volume \(12 cm^3\). Exprime a área desses cilindros, em função da sua altura, h.
Resp:
A área do cilindro é a soma das áreas das tampas mais a área do lado. A área de um tampa vale
\(\pi r^2\) e a área do lado vale \(2\pi r h\) pois se você cortar o cilindro no sentido do eixo verá que dá um retângulo de base igual ao comprimento da circunferência, que é \(2\pi r\), vezes a altura h.

\(A = 2 (\pi r^2) + (2 \pi r) h\)

Por outro lado o volume vale \(V=(\pi r^2) h\) e pelo exercício vale \(12cm^3\) portanto

\(12 = (\pi r^2) h\)

O que nos permite isolar:

a área em função de \(h\)
\((\pi r^2) = \frac{12}{h}\)

o raio em função de \(h\)

\(r = \sqrt{\frac{12}{h \pi}}\)

Agora é só substituir

\(\begin{align*}
A &= 2 (\pi r^2) + (2 \pi r) h\\
A &= 2 \frac{12}{h} + (2 \pi r) h\\
A &= \frac{24}{h} + 2 \pi h \sqrt{\frac{12}{h \pi}}\\
\end{align*}\)

Exercício 27
Considera todos os cilindros de área \(80 cm^2\). Escreve uma expressão que dê o volume desses cilindros, em \(cm^3\), em função do raio da base.

Resp:
Já vimos que a área do cilindro é dada por \(A = 2 (\pi r^2) + (2 \pi r) h\), como temos seu valor segue:

\(80 = 2 (\pi r^2) + (2 \pi r) h\)

O que nos permite isolar h em função do raio.

\(80 - 2 (\pi r^2) = (2 \pi r) h\)
\(\frac{80 - 2 (\pi r^2)}{2 \pi r} = h\)
\(\frac{40}{\pi r} - r = h\)

Como o volume é dado por \(\pi r^2 h\) temos

\(V=\pi r^2 (\frac{40}{\pi r} - r)\)

\(V= 40r - \pi r^3\)


Dê uma boa verificada se não há erro.
Bom exame.
Autor:  couldzao [ 18 mai 2014, 21:49 ]
Título da Pergunta:  Re: Funções derivadas para exame amanhã
Ainda não verifiquei se estão certos ou não, mas antes de mais obrigado pela disponibilidade.

O que eu não estava a enteder nesses exercícios era o facto de falarem em área e volume ao mesmo tempo. O volume serve apenas para criar uma igualdade que seja substituível na equação da área.

Obrigado mais uma vez.
couldzao
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