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Preciso mostrar que dentro destas condições
\(\begin{gather*}\ \\
\begin{cases}
0<E<C \\
0<i<a<u \\
uE(1+i)^x + C(a-u)>0 \qquad \qquad \mbox{(redundante o intervalo abaixo contempla)}\\
\end{cases}\\
\end{gather*}\)
a função abaixo definida no intervalo aberto \(\left( \frac{\ln\left( \frac{\left( u-a\right) C}{u E}\right)}{\ln\left( 1+i \right)}; \quad \infty \right)\) NÃO tem raízes.
\(\begin{gather*}\ \\
T \left( x \right) = x + \frac{ \ln \left( \frac{aC}{uE(1+i)^x + C(a-u)} \right) } {\ln{(1+u)}} \\
\end{gather*}\)

Alguém tem alguma idéia?

Obrigado.

Caro Rui, muito obrigado pelo seu tempo.

Seu desenvolvimento foi bacana, mas infelizmente não posso garantir que \((1+u)^x>1\), mesmo com \(u>0\) pois podemos ter \(x<0\).

Por exemplo se \(u=1, \: (1+u)^x = 2^x\) tomando \(x=-1\) teremos \(2^{(-1)} \: =\frac{1}{2} \: < \:1\)

Talvez dê para melhorar, estou trabalhando nisso também.

Atenciosamente,
Rilke

Não é possível demonstrar o resultado, uma vez que ele é em geral falso.

Por exemplo, considerando
\(E = 1, C = 1.1
i = 0.1, a = 0.2, u = 0.3\)

Verá que T(x) tem uma raíz no intervalo considerado ( aproximadamente -1.38969 ).

Autor:	Rilke [ 18 mai 2014, 18:20 ]
Título da Pergunta:	A função terá raízes?
Preciso mostrar que dentro destas condições \(\begin{gather}\ \\ \begin{cases} 0<E<C \\ 0<i<a<u \\ uE(1+i)^x + C(a-u)>0 \\ \end{cases}\\ \end{gather}\) a função abaixo definida no intervalo aberto \(\left( \frac{\ln\left( \frac{\left( u-a\right) C}{u E}\right)}{\ln\left( 1+i \right)}; \quad \infty \right)\) NÃO tem raízes. \(\begin{gather}\ \\ T \left( x \right) = x + \frac{ \ln \left( \frac{aC}{uE(1+i)^x + C(a-u)} \right) } {\ln{(1+u)}} \\ \end{gather}\) Alguém tem alguma idéia? Obrigado.

Autor:	Rilke [ 18 mai 2014, 18:33 ]
Título da Pergunta:	Re: A função terá raízes?
Rilke Escreveu: Preciso mostrar que dentro destas condições \(\begin{gather}\ \\ \begin{cases} 0<E<C \\ 0<i<a<u \\ uE(1+i)^x + C(a-u)>0 \qquad \qquad \mbox{(redundante o intervalo abaixo contempla)}\\ \end{cases}\\ \end{gather}\) a função abaixo definida no intervalo aberto \(\left( \frac{\ln\left( \frac{\left( u-a\right) C}{u E}\right)}{\ln\left( 1+i \right)}; \quad \infty \right)\) NÃO tem raízes. \(\begin{gather}\ \\ T \left( x \right) = x + \frac{ \ln \left( \frac{aC}{uE(1+i)^x + C(a-u)} \right) } {\ln{(1+u)}} \\ \end{gather}\) Alguém tem alguma idéia? Obrigado.

Autor:	Rui Carpentier [ 19 mai 2014, 16:53 ]
Título da Pergunta:	Re: A função terá raízes?
Tente acompanhar os seguintes passos: \(T(x)=x+\frac{\ln\left(\frac{aC}{uE(1+i)^x+C(a-u)}\right)}{\ln(1+u)} = \frac{x\ln(1+u)+\ln\left(\frac{aC}{uE(1+i)^x+C(a-u)}\right)}{\ln(1+u)} =\) \(=\frac{\ln\left((1+u)^x\right)+\ln\left(\frac{aC}{uE(1+i)^x+C(a-u)}\right)}{\ln(1+u)} =\frac{\ln\left(\frac{aC(1+u)^x}{uE(1+i)^x+C(a-u)}\right)}{\ln(1+u)}\) Para mostrar que \(T(x)\not=0\) basta provar que \(\frac{aC(1+u)^x}{uE(1+i)^x+C(a-u)}>1\). \(\frac{aC(1+u)^x}{uE(1+i)^x+C(a-u)}=\frac{(u+a-u)C(1+u)^x}{uE(1+i)^x+C(a-u)}=\frac{uC(1+u)^x+(a-u)C(1+u)^x}{uE(1+i)^x+C(a-u)}\) Como u>0, temos que \((1+u)^x>1\) logo \(\frac{(uC(1+u)^x+(a-u)C(1+u)^x}{uE(1+i)^x+C(a-u)}>\frac{(uC(1+u)^x+(a-u)C}{uE(1+i)^x+C(a-u)}\) E de 0<i<u e 0<E<C sai que \(C(1+u)^x>E(1+i)^x\) logo \(\frac{uC(1+u)^x+(a-u)C}{uE(1+i)^x+C(a-u)}>\frac{uE(1+i)^x+(a-u)C}{uE(1+i)^x+C(a-u)}=1\).

Autor:	Rilke [ 19 mai 2014, 22:03 ]
Título da Pergunta:	Re: A função terá raízes?
Caro Rui, muito obrigado pelo seu tempo. Seu desenvolvimento foi bacana, mas infelizmente não posso garantir que \((1+u)^x>0\), mesmo com \(u>0\) pois podemos ter \(x<0\). Por exemplo se \(u=1, \: (1+u)^x = 2^x\) tomando \(x=-1\) teremos \(2^{(-1)} \: =\frac{1}{2} \: < \:1\) Talvez dê para melhorar, estou trabalhando nisso também. Atenciosamente, Rilke

Autor:	Rilke [ 19 mai 2014, 22:10 ]
Título da Pergunta:	Re: A função terá raízes?
Opsss, na mensagem anterior leia-se "não posso garantir que \((1+u)^x>1\)" e não zero como digitei.

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A função terá raízes? https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=21&t=6067	Página 1 de 1

Autor:	Sobolev [ 20 mai 2014, 11:42 ]
Título da Pergunta:	Re: A função terá raízes? [resolvida]
Não é possível demonstrar o resultado, uma vez que ele é em geral falso. Por exemplo, considerando \(E = 1, C = 1.1 i = 0.1, a = 0.2, u = 0.3\) Verá que T(x) tem uma raíz no intervalo considerado ( aproximadamente -1.38969 ).

Autor:	Rui Carpentier [ 20 mai 2014, 14:46 ]
Título da Pergunta:	Re: A função terá raízes?
Rilke Escreveu: Caro Rui, muito obrigado pelo seu tempo. Seu desenvolvimento foi bacana, mas infelizmente não posso garantir que \((1+u)^x>1\), mesmo com \(u>0\) pois podemos ter \(x<0\). Por exemplo se \(u=1, \: (1+u)^x = 2^x\) tomando \(x=-1\) teremos \(2^{(-1)} \: =\frac{1}{2} \: < \:1\) Talvez dê para melhorar, estou trabalhando nisso também. Atenciosamente, Rilke Pois tens razão, além de que o meu erro não foi só esse. Como a<u, mesmo que tivesse \((1+u)^x>1\) a desigualdade seria ao contrário. Como disse bem o Sobolev, a função T pode ter solução no intervalo dado. Por exemplo, tomando um x negativo fixo, 0<i<a<u e E>0, temos que esse x será solução de T(x)=0 caso \(C=\frac{Eu(1+i)^x}{a(1+u)^x+u-a}\). Uma vez que \(\lim_{a\to u^-}\frac{\ln\left(\frac{(u-a)C}{uE}\right)}{\ln(1+i)}=-\infty\)* e \(\lim_{a\to u^-}\frac{u(1+i)^x}{a(1+u)^x+u-a}=\frac{(1+i)^x}{(1+u)^x}>1\) (pois 0<i<u e x<0) temos que, para \(a\) suficientemente próximo de \(u\), x está no intervalo dado e C>E. * Note-se que o primeiro limite depende do limite de C em função de a que é \(\frac{E(1+i)^x}{(1+u)^x}\) (portanto finito), logo o limite menos infinito. PS: espero mas não garanto que as contas estejam bens feitas.

Autor:	Rilke [ 20 mai 2014, 15:19 ]
Título da Pergunta:	Re: A função terá raízes?
Sobolev Escreveu: Não é possível demonstrar o resultado, uma vez que ele é em geral falso. Por exemplo, considerando \(E = 1, C = 1.1 i = 0.1, a = 0.2, u = 0.3\) Verá que T(x) tem uma raíz no intervalo considerado ( aproximadamente -1.38969 ). Muito obrigado Sobolev, seu contra-exemplo foi elucidador.

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