Determine o conjunto de pontos onde a seguinte função é contínua:
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| Autor: | Kito [ 01 ago 2014, 23:51 ] | ||
| Título da Pergunta: | Determine o conjunto de pontos onde a função é contínua. | ||
Determine o conjunto de pontos onde a seguinte função é contínua:
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| Autor: | Man Utd [ 02 ago 2014, 01:04 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Determine o conjunto de pontos onde a função é contínua. |
Olá :D Veja que quando \((x,y) \neq (0,0)\) a função é continua pois o limite da função em qualquer ponto obdecendo esta condição funciona como se fosse a função aplicada no ponto.Mas o problema aqui é quando \((x,y)=(0,0)\), então teremos que analisar pela definição de continuidade: \(\lim_{ (x,y) \to (x_{0},y_{0}) } \; f(x,y)=f(x_{0},y_{0})\) \(\lim_{ (x,y) \to (0,0) } \; \frac{xy}{x^2+y^2+xy}=f(0,0)=0\) temos que verificar se essa igualdade realmente é verdadeira : \(\lim_{ (x,y) \to (0,0) } \; \frac{xy}{x^2+y^2+xy}\) mas esse limite não existe, veja que pela regra dos caminhos : por (x,0) : \(\lim_{ x \to 0} \; \frac{x*0}{x^2+0^2+x*0}=0\) por (x,x) : \(\lim_{ x \to 0} \; \frac{x*x}{x^2+x^2+x*x}=\frac{1}{3}\) logo como obtivemos valores diferente por curvas que passam por (0,0) o limite não existe,segue que a função não é contínua em (0,0).Com isso podemos afirmar que a função é continua em todos os pontos do plano menos (0,0) . |
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