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| Mostrar que uma função é sobrejetora https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=21&t=6697 |
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| Autor: | Marcella [ 13 ago 2014, 12:44 ] |
| Título da Pergunta: | Mostrar que uma função é sobrejetora |
Bom dia!!! Seja \(f:A\rightarrow B\) uma função. Mostre que f é sobrejetora se, e somente se, \(f(f^{-1}(Y))=Y\) para todo \(Y\subset B\). |
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| Autor: | Walter R [ 14 ago 2014, 18:17 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Mostrar que uma função é sobrejetora [resolvida] |
Qualquer que seja a função, sempre vale que \(f(f^{-1}(B))\subset B\) (fica como exercício). Para provar a inclusão contrária, suponha \(y \in B\). Como a \(f\) é sobrejetiva, existe \(x \in A\) tal que \(y=f(x)\), o que implica \(x=f^{-1}(y)\), ou seja, \(y=f(x)\in f(f^{-1}(B))\). Isto prova que quando a função é sobrejetiva, temos \(B \subset f(f^{-1}(B))\). Se a função não é sobrejetiva, pode acontecer que se tenha \(y \in B\) mas não existir \(x \in A\) tal que \(y=f(x)\). Exemplo: \(f:\left \{ 1,2 \right \}\rightarrow \left \{ 1,4,8 \right \};f(x)=x^2\). O elemento 8 pertence ao contradomínio, mas não existe x no domínio tal que \(f(x)=8.\). |
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