Como determinar a função com pontos existentes
18 fev 2015, 18:11
Olá pessoal,
Estou tentando desenvolver uma aplicação no meu trabalho, mas para isso preciso encontrar a função que represente uma curva que passa pelos seguintes pontos:
(x,y) = (1.000,20) (10.000,10) (50.000,5) (100.000,2)
Como encontrar a curva sabendo os pontos? É possível? Qual a função desta curva?
Estou muito enferrujado na minha matemática, agradeço a ajuda.
Obrigado.
Estou tentando desenvolver uma aplicação no meu trabalho, mas para isso preciso encontrar a função que represente uma curva que passa pelos seguintes pontos:
(x,y) = (1.000,20) (10.000,10) (50.000,5) (100.000,2)
Como encontrar a curva sabendo os pontos? É possível? Qual a função desta curva?
Estou muito enferrujado na minha matemática, agradeço a ajuda.
Obrigado.
Re: Como determinar a função com pontos existentes
18 fev 2015, 19:57
Como não posso editar, se puderem transfiram pro outro fórum que não é o escolar pois não havia percebido que tinha selecionado o errado, por favor.
O melhor que consegui fazer foi esse gráfico com retas em anexo. Contudo se fosse uma curva seria o ideal para minha aplicação.
f(x)=?
O melhor que consegui fazer foi esse gráfico com retas em anexo. Contudo se fosse uma curva seria o ideal para minha aplicação.
f(x)=?
- Anexos
-
Re: Como determinar a função com pontos existentes
18 fev 2015, 21:05
Boa tarde!
Eu utilizei regressão linear para encontrar uma curva que se encaixe melhor nestes pontos.
No caso, a regressão transformando os pontos em uma curva logarítmica é a melhor solução para este caso.
\(Y=A+BlogX\)
A tabela abaixo possui tudo o que precisamos:
\(\begin{tabular}{r|c|c|c|c|c}
\hline
X & Y & logX & (logX)^2 & Y^2 & YlogX \\ \hline
1000 & 20 & 3 & 9 & 400 & 60 \\
10000 & 10 & 4 & 16 & 100 & 40 \\
50000 & 5 & 4,69897 & 22,08032 & 25 & 23,49485 \\
100000 & 2 & 5 & 25 & 4 & 10 \\ \hline
\sum 161000 & 37 & 16,69897 & 72,08032 & 529 & 133,49485 \\ \hline
\end{tabular}\)
Agora, vamos resolver a seguinte equação:
\(\left{ \sum Y=NA+B\sum{logX}
\sum {YlogX}=A\sum{logX}+B\sum{(logX)^2}\)
Substituindo os valores, temos:
\(\left{ 37=4A+16,69897B
133,49485=16,69897A+72,08032B\)
Chegamos em:
\(A=46,24552
B=-8,86175\)
Então, a equação \(y=46,24552-8,86175logX\) é uma equação que está bastante próxima dos pontos.
Para saber o grau de correlação entre as variáveis podemos calcular o coeficiente de correlação entre elas.
A fórmula é a seguinte:
\(r=\frac{N\sum{YlogX}-\sum{Y}\sum{logX}}{\sqrt{N\sum{(logX)^2}-(\sum{logX})^2}\sqrt{N\sum{Y^2}-(\sum{Y})^2}}\)
\(r=\frac{4(133,49485)-(37)(16,69897)}{\sqrt{4(72,08032)-(16,69897)^2}\sqrt{4(529)-(37)^2}}
r\approx -0,99755\)
Quanto mais próximo de módulo de 1, melhor a correspondência entre as variáveis.
Neste caso, foi quase perfeita.
Vamos montar uma tabela com as respostas para cada valor de X para esta tabela.
\(\begin{tabular}{|l|l|}
\hline
X & Y \\ \hline
1000 & 19,660 \\ \hline
10000 & 10,799 \\ \hline
50000 & 4,604 \\ \hline
100000 & 1,937 \\ \hline
\end{tabular}\)
Veja que estes valores estão MUITO próximos dos pontos que tem em seu gráfico.
Espero que isto ajude!
Abraços!
Eu utilizei regressão linear para encontrar uma curva que se encaixe melhor nestes pontos.
No caso, a regressão transformando os pontos em uma curva logarítmica é a melhor solução para este caso.
\(Y=A+BlogX\)
A tabela abaixo possui tudo o que precisamos:
\(\begin{tabular}{r|c|c|c|c|c}
\hline
X & Y & logX & (logX)^2 & Y^2 & YlogX \\ \hline
1000 & 20 & 3 & 9 & 400 & 60 \\
10000 & 10 & 4 & 16 & 100 & 40 \\
50000 & 5 & 4,69897 & 22,08032 & 25 & 23,49485 \\
100000 & 2 & 5 & 25 & 4 & 10 \\ \hline
\sum 161000 & 37 & 16,69897 & 72,08032 & 529 & 133,49485 \\ \hline
\end{tabular}\)
Agora, vamos resolver a seguinte equação:
\(\left{ \sum Y=NA+B\sum{logX}
\sum {YlogX}=A\sum{logX}+B\sum{(logX)^2}\)
Substituindo os valores, temos:
\(\left{ 37=4A+16,69897B
133,49485=16,69897A+72,08032B\)
Chegamos em:
\(A=46,24552
B=-8,86175\)
Então, a equação \(y=46,24552-8,86175logX\) é uma equação que está bastante próxima dos pontos.
Para saber o grau de correlação entre as variáveis podemos calcular o coeficiente de correlação entre elas.
A fórmula é a seguinte:
\(r=\frac{N\sum{YlogX}-\sum{Y}\sum{logX}}{\sqrt{N\sum{(logX)^2}-(\sum{logX})^2}\sqrt{N\sum{Y^2}-(\sum{Y})^2}}\)
\(r=\frac{4(133,49485)-(37)(16,69897)}{\sqrt{4(72,08032)-(16,69897)^2}\sqrt{4(529)-(37)^2}}
r\approx -0,99755\)
Quanto mais próximo de módulo de 1, melhor a correspondência entre as variáveis.
Neste caso, foi quase perfeita.
Vamos montar uma tabela com as respostas para cada valor de X para esta tabela.
\(\begin{tabular}{|l|l|}
\hline
X & Y \\ \hline
1000 & 19,660 \\ \hline
10000 & 10,799 \\ \hline
50000 & 4,604 \\ \hline
100000 & 1,937 \\ \hline
\end{tabular}\)
Veja que estes valores estão MUITO próximos dos pontos que tem em seu gráfico.
Espero que isto ajude!
Abraços!
Re: Como determinar a função com pontos existentes
18 fev 2015, 23:38
Se pretende uma função que passe nos pontos dados, pode usar interpolação polinomial. Neste caso, o polinómio
\(p(x)=-\frac{17113 x^3}{87318000}+\frac{2801143 x^2}{87318000}-\frac{12593303 x}{8731800}+\frac{1869509}{87318}\)
passa exactamente em todos os pontos da tabela. Em geral, dada uma tabela de valores em n+1 pontos distintos, existe um e um só polinómio de grau menor ou igual que descreve exactamente a tabela dada.
\(p(x)=-\frac{17113 x^3}{87318000}+\frac{2801143 x^2}{87318000}-\frac{12593303 x}{8731800}+\frac{1869509}{87318}\)
passa exactamente em todos os pontos da tabela. Em geral, dada uma tabela de valores em n+1 pontos distintos, existe um e um só polinómio de grau menor ou igual que descreve exactamente a tabela dada.
Re: Como determinar a função com pontos existentes
19 fev 2015, 00:48
Boa noite!
Testei a equação que encontrou e acho que faltam alguns 'zeros' no denominador, Sobolev.
Veja se confere com a que encontrei:
\(p(x)=-\frac{17113 x^3}{87318000000000000}+\frac{2801143 x^2}{87318000000000}-\frac{12593303 x}{8731800000}+\frac{1869509}{87318}\)
Acho interpolação por polinômios algo muito interessante para podermos obter uma equação que nos entregue uma curva que passe exatamente pelos pontos dados.
Não me lembrava de 'bate-pronto' desta ferramenta!
Abraços!
Testei a equação que encontrou e acho que faltam alguns 'zeros' no denominador, Sobolev.
Veja se confere com a que encontrei:
\(p(x)=-\frac{17113 x^3}{87318000000000000}+\frac{2801143 x^2}{87318000000000}-\frac{12593303 x}{8731800000}+\frac{1869509}{87318}\)
Acho interpolação por polinômios algo muito interessante para podermos obter uma equação que nos entregue uma curva que passe exatamente pelos pontos dados.
Não me lembrava de 'bate-pronto' desta ferramenta!
Abraços!
Re: Como determinar a função com pontos existentes
19 fev 2015, 16:55
Obrigado pela presteza!
Existe algum tutorial de como encontrar esse polinômio?
Existe algum tutorial de como encontrar esse polinômio?
Re: Como determinar a função com pontos existentes
19 fev 2015, 17:50
adamopinheiro Escreveu:Obrigado pela presteza!
Existe algum tutorial de como encontrar esse polinômio?
Boa tarde!
Vou deixar abaixo como encontrei o polinômio:
\(f(x)=A(x-1.000)(x-10.000)(x-50.000)+B(x-1.000)(x-10.000)(x-100.000)+C(x-1.000)(x-50.000)(x-100.000)+D(x-10.000)(x-50.000)(x-100.000)\)
Veja que os valores 1.000, 10.000, 50.000, 100.000, que são os valores de x conhecidos, foram inseridos de forma a cada produto possuir 3 a cada vez.
As combinações, 3 a 3, seriam:
1.000, 10.000, 50.000
1.000, 10.000, 100.000
1.000, 50.000, 100.000
10.000, 50.000, 100.000
Qual a ideia? Agora, basta substituir os valores conhecidos de x para obter os também valores conhecidos de f(x)
\(\begin{tabular}{|l|l|}
\hline
x & f(x) \\ \hline
1.000 & 20 \\ \hline
10.000 & 10 \\ \hline
50.000 & 5 \\ \hline
100.000 & 2 \\ \hline
\end{tabular}\)
Vou calcular só o primeiro para entender o processo:
Substituindo x=100.000, f(x)=2:
\(f(2)=A(100.000-1.000)(100.000-10.000)(100.000-50.000)
2=A(99.000)(90.000)(50.000)
A=\frac{2}{445.500.000.000.000}
A=\frac{1}{222.750.000.000.000}\)
Repetindo o mesmo processo, encontrará o B, C e D. Depois, só voltar para 1a. equação, simplificar, que chegará na equação demonstrada anteriormente.
Espero ter ajudado!
Re: Como determinar a função com pontos existentes
19 fev 2015, 22:14
Obrigado! O bom é assim, aprender o caminho das pedras! Fiz umas alterações nas proporções e consegui recalcular com sucesso!
Re: Como determinar a função com pontos existentes
20 fev 2015, 17:03
Boa tarde,
No polinómio que calculei inicialmente interpretei o ponto "." como separador decimal, pelo que os pontos que considerei foram 1, 10, 50, 100. O polinómio interpolador pode ser calculado de modo muito simples, basta procurar por "diferenças divididas, polinómio interpolador de Newton". Em último caso, basta resolver um sistema linear: os coeficientes \(a_0, \cdots, a_n\) do polinómio de grau n \(p_n(x)=a_n x^n + \cdots a_0\) que interpola os valores \((x_0,y_0), \cdots (x_n,y_n)\) podem ser dados pela resolução do sistema
\(\left(\begin{array}1 & x_0 & x_0^2 & \cdots & x_0^n\\ 1 &x_1 & x_1^2& \cdots x_1^n \\ \vdots & \vdots& \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n\end{array}\right)\left(\begin{array}a_0\\a_1\\ \vdots \\ a_n\end{array}\right)\left(\begin{array}y_0\\y_1\\ \vdots \\ y_n\end{array}\right)\)
A matrix deste sistema é invertível sempre que os pontos x_i são distintos.
No polinómio que calculei inicialmente interpretei o ponto "." como separador decimal, pelo que os pontos que considerei foram 1, 10, 50, 100. O polinómio interpolador pode ser calculado de modo muito simples, basta procurar por "diferenças divididas, polinómio interpolador de Newton". Em último caso, basta resolver um sistema linear: os coeficientes \(a_0, \cdots, a_n\) do polinómio de grau n \(p_n(x)=a_n x^n + \cdots a_0\) que interpola os valores \((x_0,y_0), \cdots (x_n,y_n)\) podem ser dados pela resolução do sistema
\(\left(\begin{array}1 & x_0 & x_0^2 & \cdots & x_0^n\\ 1 &x_1 & x_1^2& \cdots x_1^n \\ \vdots & \vdots& \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n\end{array}\right)\left(\begin{array}a_0\\a_1\\ \vdots \\ a_n\end{array}\right)\left(\begin{array}y_0\\y_1\\ \vdots \\ y_n\end{array}\right)\)
A matrix deste sistema é invertível sempre que os pontos x_i são distintos.
Re: Como determinar a função com pontos existentes
20 fev 2015, 18:10
Gostei da solução, Sobolev!
Acaba caindo em um sistema linear! Seria o mesmo que procurar \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) e substituir os valores para x e f(x) conhecidos. Daria um sistema 4 variáveis (a,b,c,d) e 4 equações.
Ou faz como sugeriu, usando matriz inversa, ou resolve o sistema, escalonando mesmo.
Mas sempre é bom ver soluções diferentes! A que eu sugeri era para não cair em sistema, de forma a encontrar as variáveis A, B, C e D rapidamente. No entanto, ainda teria que manipular algebricamente a equação até chegar no formato desejado.
Abraços!
Acaba caindo em um sistema linear! Seria o mesmo que procurar \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) e substituir os valores para x e f(x) conhecidos. Daria um sistema 4 variáveis (a,b,c,d) e 4 equações.
Ou faz como sugeriu, usando matriz inversa, ou resolve o sistema, escalonando mesmo.
Mas sempre é bom ver soluções diferentes! A que eu sugeri era para não cair em sistema, de forma a encontrar as variáveis A, B, C e D rapidamente. No entanto, ainda teria que manipular algebricamente a equação até chegar no formato desejado.
Abraços!