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O conjunto imagem da função real f(x)=\(1+2x;x\leq 1\) e f(x)= \(6-2x;x> 1\).

Ei que o gabarito é :\(]- \infty , 4[\)

Mas, não sei como resolver.

Note que a imagem de uma união de conjuntos é a união das imagens desses conjuntos (i.e. \(f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)\)).
Para \(x\leq 1\) a função é dada pela expressão \(f(x)=1+2x\), e como \(x\leq 1 \Rightarrow 2x\leq 2 \Rightarrow f(x)=1+2x\leq 3\), temos que a imagem por f do conjunto \(]-\infty ,1]\) é \(]-\infty ,3]\) (ou seja, \(f(]-\infty ,1])=]-\infty ,3]\)).
Para \(x> 1\) a função é dada pela expressão \(f(x)=6-2x\), e como \(x> 1 \Rightarrow -2x<-2 \Rightarrow f(x)=6-2x<4\), temos que a imagem por f do conjunto \(]1,+\infty [\) é \(]-\infty ,4[\) (ou seja, \(f(]1,+\infty [)=]-\infty ,4[\)).
Logo podemos concluir que \(f(]-\infty ,1]\cup ]1,+\infty [)=]-\infty ,3]\cup ]-\infty ,4[= ]-\infty ,4[\), ou seja, o contradomínio é \(]-\infty ,4[\).