Domínio de uma função em contexto real [resolvida]
31 mar 2015, 15:38
Boa tarde,
As dimensões das folhas de um livro são 24 cm X 18 cm. As margens superior e inferior devem medir 1 cm menos do que as laterais.
Designando por x a medida de cada margem lateral, a função que dá a área da parte impressa é \(A(x)=\left ( 24-2x \right )\left ( 20-2x \right )=480-88x+4x^{2}\) .
Embora eu consiga compreender como se chega à expressão analítica da função que define a área pedida, tenho dúvidas acerca da forma como devo determinar os valores que x pode tomar de modo que a função tenha significado no contexto real, ou seja, não sei como hei de determinar o domínio desta função para que tenha de facto significado no contexto real a que é aplicada.
Alguém tem alguma sugestão?
Obrigada desde já.
As dimensões das folhas de um livro são 24 cm X 18 cm. As margens superior e inferior devem medir 1 cm menos do que as laterais.
Designando por x a medida de cada margem lateral, a função que dá a área da parte impressa é \(A(x)=\left ( 24-2x \right )\left ( 20-2x \right )=480-88x+4x^{2}\) .
Embora eu consiga compreender como se chega à expressão analítica da função que define a área pedida, tenho dúvidas acerca da forma como devo determinar os valores que x pode tomar de modo que a função tenha significado no contexto real, ou seja, não sei como hei de determinar o domínio desta função para que tenha de facto significado no contexto real a que é aplicada.
Alguém tem alguma sugestão?
Obrigada desde já.
Re: Domínio de uma função em contexto real
01 abr 2015, 00:22
Boa noite,
Numa situação limite, no caso apresentado penso que poderia definir as seguintes restrições:
(I) \(x - 1 \geq 0\)
(II) \(x - 1 \leq 18\)
(III) \(x \leq 24\)
De (II) e (III) vale (II).
Mas cá entre nós, qual seria uma medida de margem razoável para esse caso?
Numa situação limite, no caso apresentado penso que poderia definir as seguintes restrições:
(I) \(x - 1 \geq 0\)
(II) \(x - 1 \leq 18\)
(III) \(x \leq 24\)
De (II) e (III) vale (II).
Mas cá entre nós, qual seria uma medida de margem razoável para esse caso?
Re: Domínio de uma função em contexto real
01 abr 2015, 11:11
Olá,
Se eu for consultar a resolução deste exercício, é dito que \(x \in\, ]1,10[\) porque \(x\, > 0\; \wedge \; x-1\, > 0\; \wedge \; 24-2x\, > 0\; \wedge \; 20-2x\, > 0\)
Mas (e é esta a minha dúvida) a função A(x) tem de ser superior a zero, certo?
\(A(x)\, > 0\Leftrightarrow \, 480-88x+4x^{2}\, > 0\Leftrightarrow \, x\, < 10\; \vee \; x\, > 12\)
Então, porque é que os valores que satisfazem a condição \(A(x)\, > 0\) não definem o domínio da função?
Obrigada pela atenção.
Se eu for consultar a resolução deste exercício, é dito que \(x \in\, ]1,10[\) porque \(x\, > 0\; \wedge \; x-1\, > 0\; \wedge \; 24-2x\, > 0\; \wedge \; 20-2x\, > 0\)
Mas (e é esta a minha dúvida) a função A(x) tem de ser superior a zero, certo?
\(A(x)\, > 0\Leftrightarrow \, 480-88x+4x^{2}\, > 0\Leftrightarrow \, x\, < 10\; \vee \; x\, > 12\)
Então, porque é que os valores que satisfazem a condição \(A(x)\, > 0\) não definem o domínio da função?
Obrigada pela atenção.
Re: Domínio de uma função em contexto real
01 abr 2015, 12:04
Bom dia, antes de mais nada deixa eu corrigir as minhas sentenças anteriores:
(I) \(x - 1 \geq 0\)
(II) \(2(x - 1) \leq 18\)
(III) \(2x \leq 24\)
No seu gabarito ele não assume a possibilidade de igualdade ( uma das margens eventualmente ser zero ) mas não é importante.
Analisando o problema: você não pode ter medidas negativas, daí \(x>1\) e não pode ter margens maiores do que o comprimento correspondente, daí \(x<10\).
Algebricamente você obtém um conjunto de valores para o domínio, mas no contexto apenas um subconjunto é válido.
(I) \(x - 1 \geq 0\)
(II) \(2(x - 1) \leq 18\)
(III) \(2x \leq 24\)
No seu gabarito ele não assume a possibilidade de igualdade ( uma das margens eventualmente ser zero ) mas não é importante.
TelmaG Escreveu:Então, porque é que os valores que satisfazem a condição não definem o domínio da função?
Analisando o problema: você não pode ter medidas negativas, daí \(x>1\) e não pode ter margens maiores do que o comprimento correspondente, daí \(x<10\).
Algebricamente você obtém um conjunto de valores para o domínio, mas no contexto apenas um subconjunto é válido.