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Sendo f(x+y) = f(x) + f(y) e f(x.y) = f(x) . f(y), julgar:
https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=21&t=940		 Página 1 de 1
Autor:  VictorRocha [ 14 Oct 2012, 19:21 ]
Título da Pergunta:  Sendo f(x+y) = f(x) + f(y) e f(x.y) = f(x) . f(y), julgar:
Boa tarde pessoal, alguém poderia me ajudar a resolver essa questão? Parece ser simples, mas eu não consegui justificar.

"Considere que f seja uma função definida sobre os números Reais, tal que para todo x e y tem-se que:
f(x+y) = f(x) + f(y) e f(x.y) = f(x) . f(y).

Com base nessas informações, julgue os itens a seguir, assinalando V (verdadeiro) ou F (falso).

0. f(0) = 0
1. f(1) = 1
2. f(\(\frac{-3}{2}\)) = -f(\(\frac{3}{2}\))
3. f(8) = [f(2)]³
4. Se f(2) = \(\sqrt{3}\) e f(3) = \(\pi\), então f(12) = 3 + \(\pi\)

Gabarito abaixo:
Spoiler:
0. V
1. V
2. V
3. V
4. F
Autor:  João P. Ferreira [ 14 Oct 2012, 20:23 ]
Título da Pergunta:  Re: Sendo f(x+y) = f(x) + f(y) e f(x.y) = f(x) . f(y), julga
Pergunta intrigante ;)

Se

\(f(x+y)=f(x)+f(y)\)

para o caso particular de \(x=y=0\)

\(f(0)=f(0)+f(0)\)

\(f(0)=2.f(0)\)

que só é válido se \(f(0)=0\)


Se

\(f(x.y)=f(x).f(y)\)

para o caso particular de \(x=y=1\)

\(f(1)=f(1).f(1)\)

\(f(1)=f^2(1)\)

que só é válido se \(f(1)=1 \vee f(1)=0\)

ou mais geralmente

para \(y=x\)

\(f(2x)=2f(x)\)

\(f(x^2)=f^2(x)\)



sabemos que

\(f(x+y)=f(x)+f(y)\)

para quando \(y=-x\)

\(f(0)=f(x)+f(-x)\)

mas como vimos que \(f(0)=0\) dá

\(f(x)=-f(-x)\)

que significa que é uma função ímpar, assim \(f(-3/2)=-f(3/2)\)

se a análise não me falha...
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