Achar progressão aritmética através de três elementos com incógnitas

[Gabriela Amaral]

Determine o valor de n que torna a sequência uma progressão aritmética:
(2+3n , -5n , 1-4n)

[João P. Ferreira]

Olá Gabriela

presumo que tem aí por exemplo \((u_n,u_{n+1},u_{n+2})\)

numa progressão aritmética \(u_{n+1}-u_n=K\)

só tem que resolver

\(u_{n+2}-u_{n+1}=K\)

\(u_{n+1}-u_n=K\)

consegue avançar???
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[Gabriela Amaral]

Olá João, continuo não entendendo.
Por exemplo, essas letras e tudo mais, você poderia me explicar o que K significa?

[João P. Ferreira]

Olá

o \(K\) é uma constante

Pense que numa progressão aritmética o termo seguinte menos o termo presente é sempre constante, por exemplo

\((3,6,9,12,...)\)

repare que 12-9=9-6=6-3=3

neste caso o \(K\) é 3

No seu caso há a resolver

\(({1}-4n)-(-5n)=K\)

\((-5n) -(2+3n)=K\)

duas equações e duas incógnitas, acha o \(n\) e acha o \(K\)

[Gabriela Amaral]

e como se faz para achar o N e o K?

[João P. Ferreira]

\({1}-4n+5n=K\)

\(-5n-2-3n=K\)

____________

\({1}+n=K\)

\(-8n-2=K\)

_______________

iguala os \(K\)

\({1}+n=-8n-2\)

...

consegue avançar?
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[Gabriela Amaral]

fiz assim:
a2 - a1 = - 5n - (2 + 3n)

a3 - a2 = 1 - 4n - (-5n)

a2 - a1 = a3 - a2

- 5n - (2 + 3n) = 1 - 4n - (-5n)

- 5n - 2 - 3n = 1 - 4n + 5n

- 5n - 3n + 4n - 5n = 1 + 2

- 9n = 3 .(-1)

9n = -3

n = -3/9

n = -1/3

está correto?

[João P. Ferreira]

\({1}+n=-8n-2\)

\(8n+n=-2-1\)

\(9n=-3\)

\(n=-\frac{3}{9}=-\frac{1}{3}\)

logo está certo, parabéns