Por que motivo se o determinante de uma matriz for zero então ela é possível e indeterminada?

[David_Estudante]

Por que motivo se o determinante de uma matriz for zero então ela é possível e indeterminada?

[Sobolev]

David,

O que é possível ou impossível, determinado ou indeterminado, não é a matriz mas sim um sistema linear com essa matriz de coeficientes. De qualquer modo, se o determinante da matriz for zero não é verdade que o sistema seja possivel e indeterminado....

* Se o determinante for não nulo, o sistema é possivel e determinado, independentemente do segundo membro.

* Se o determinante for nulo, consoante o segundo membro, o sistema poderá ser impossível ou possível mas indeterminado.

[David_Estudante]

David,

O que é possível ou impossível, determinado ou indeterminado, não é a matriz mas sim um sistema linear com essa matriz de coeficientes. De qualquer modo, se o determinante da matriz for zero não é verdade que o sistema seja possivel e indeterminado....

* Se o determinante for não nulo, o sistema é possivel e determinado, independentemente do segundo membro.

* Se o determinante for nulo, consoante o segundo membro, o sistema poderá ser impossível ou possível mas indeterminado.

Por que?

[Sobolev]

Para perceber estes resultados terá mesmo que ler o livro de texto... Se perceber a relação entre o determinante, a característica de uma matriz, e a independência linear das linhas terá a sua resposta.

Deixo no entanto dois exemplos em que o determinante é nulo mas a natureza do sistema é diferente

1)

\(\left\{\begin{array}{l} 2x + y =1 \\ 2x + y = 2\end{array}\right.\)

1)

\(\left\{\begin{array}{l} 2x + y =1 \\ 2x + y = 1\end{array}\right.\)

Como vê, para a mesma matriz de sistema, um dos sistemas é impossível e o outro é indeterminado.

Se o determinante não fosse nulo, a matriz seria invertível e a solução seria única (\(Ax = b \Leftrightarrow x = A^{-1} b\))