Escrever equação resultante e mostrar a existência de uma raiz no intervalo dado

[leslie.cardoso.silva]

Bom dia pessoal. Estou com dúvidas em como escrever uma equação resultante da questão 1 do arquivo em anexo.
Desde de já agradeço a ajuda de vocês.

Anexos

[Sobolev]

Antes de mais é preciso clarificar a definição das funções hiperbólicas. A definição usada no enunciado não é correcta, falta dividir por dois em ambos os casos...

[leslie.cardoso.silva]

Antes de mais é preciso clarificar a definição das funções hiperbólicas. A definição usada no enunciado não é correcta, falta dividir por dois em ambos os casos...

Certo! Sabe me dizer como monto essa equação resultante?

[Sobolev]

Uma vez que \(a = 75\), para determinar h apenas temos que determinar o valor do parâmetro \(\gamma\). Como conhecemos o valor de L, o valor do parâmetro pode ser determinado resolvendo a equação

\(100 = \frac{1}{\gamma} \sinh ( 75 \gamma) \Leftrightarrow
\sinh ( 75 \gamma) - 100 \gamma = 0\)

Designando \(f(a)=\sinh ( 75 \gamma) - 100 \gamma\), queremos mostrar que f tem uma e uma só raíz no intervalo [0.01 ; 0.02]:

1. Em primeiro lugar, como f é uma função contínua e \(f(0.01) \times f(0.02)=-0.0229708 < 0\) o teorema do valor intermédio garante que existe pelo menos uma solução no intervalo em causa. A ideia é que uma função contínua não pode passar de valores negativos para positivos sem passar pelo valor zero.

2. Relativamente ao facto de essa solução ser única, basta analisar a monotonia da função. f(0.01)<1 e f começa por ser decrescente pelo que desde 0.01 até ao zero de f' não existe nenhuma raíz. A partir desse ponto f' >0, pelo que f é estritamente crescente tendo no máximo uma raíz.

Conjugando 1 e 2 conclui-se que f tem uma e uma só raíz no intervalo [0.01 ; 0.02].

Tendo uma estimativa de \(\gamma\) podemos agora estimar a "flecha"..

[leslie.cardoso.silva]

Uma vez que \(a = 75\), para determinar h apenas temos que determinar o valor do parâmetro \(\gamma\). Como conhecemos o valor de L, o valor do parâmetro pode ser determinado resolvendo a equação

\(100 = \frac{1}{\gamma} \sinh ( 75 \gamma) \Leftrightarrow
\sinh ( 75 \gamma) - 100 \gamma = 0\)

Designando \(f(a)=\sinh ( 75 \gamma) - 100 \gamma\), queremos mostrar que f tem uma e uma só raíz no intervalo [0.01 ; 0.02]:

1. Em primeiro lugar, como f é uma função contínua e \(f(0.01) \times f(0.02)=-0.0229708 < 0\) o teorema do valor intermédio garante que existe pelo menos uma solução no intervalo em causa. A ideia é que uma função contínua não pode passar de valores negativos para positivos sem passar pelo valor zero.

2. Relativamente ao facto de essa solução ser única, basta analisar a monotonia da função. f(0.01)<1 e f começa por ser decrescente pelo que desde 0.01 até ao zero de f' não existe nenhuma raíz. A partir desse ponto f' >0, pelo que f é estritamente crescente tendo no máximo uma raíz.

Conjugando 1 e 2 conclui-se que f tem uma e uma só raíz no intervalo [0.01 ; 0.02].

Tendo uma estimativa de \(\gamma\) podemos agora estimar a "flecha"..

Então! Desde usar aquela primeira equação \(y=1/(2*\gamma)[\cosh ((2x-a)*\gamma )-\cosh (a*\gamma )]\), minha função será essa: \(\sinh ( 75 \gamma) - 100 \gamma = 0\)?
É porque feito isso os próximos exercícios eu tenho que pegar a função e utilizar o método da bissecção e Newton Raphson para mostrar os valores no algoritmo (numa tabela com todos passos). Ou tem alguma forma de isolar o gamma para substituir na primeira expressão ?

[Sobolev]

Essa é a equação que, depois de resolvida, permite encontrar o valor de gama, já o valor de h vai depender do valor estimado de gama... Talvez se publica todas as alíneas seja mais fácil perceber a intenção de quem fez o enunciado.

[leslie.cardoso.silva]

Essa é a equação que, depois de resolvida, permite encontrar o valor de gama, já o valor de h vai depender do valor estimado de gama... Talvez se publica todas as alíneas seja mais fácil perceber a intenção de quem fez o enunciado.

Desculpe por incomodar mais essa vez, mais não entendi como posso resolver essa equação \(\sinh (75*\gamma )-100*\gamma\) já que não tem como eu isolar o \(\gamma\) que está no sinh. Uma forma seria usar o metodo da bissecção onde a = 0.01 intervalo e b = 0.1 intervalo pela a formula (a+b)/2 (apesar que os valores desse intervalo seria da questão 1 que é 0.01 a 0.02), agora não sei se uso o da 1 interação ou da precisão do enunciado dessa questão onde é E= 10^-5:

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