Progressão Geométrica

[lucio]

Olá...

Em uma progressão geométrica de razão maior que 1, a diferença entre o 4º termo e o 1º termo é 52, e a diferença entre o 3º termo e o 2º é 12. A soma dos quatro primeiros termos dessa progressão é:
a) 40
b) 50
c) 60
d) 70
e) 80
Resp: (e)

Infelizmente eu não consegui resolver essa questão, agradeço desde já a ajuda de todos.
Um abraço

[João P. Ferreira]

Uma P.G. é dada pela fórmula

\(a_n=A r^n\)

onde \(r\) é a razão

então sabemos que

\(a_4-a_1=A r^4-A r=A(r^4-r)=52\)

e da mesma forma que

\(A(r^3-r^2)=12\)

o que vc quer achar é

\(a_1+a_2+a_3+a_4=A(r+r^2+r^3+r^4)\)

[lucio]

Bom dia João
Em cima de sua explicação fiz até aqui.

Fiz assim...
\(_{a1}\)=\(_{a1.q^{0}}\)
\(_{a2}\)=\(_{a1.q^{1}}\)
\(_{a3}\)=\(_{a1.q^{2}}\)
\(_{a4}\)=\(_{a1.q^{3}}\)

então:
a4 - a1 = 52 \(\rightarrow\) \(_{a1.q^{3}}\) - \(_{a1.q^{0}}\) = 52 \(\rightarrow\) a1.(\(q^{3}-1\)) = 52


a3 - a2 = 12 \(\rightarrow\) \(_{a1.q^{2}}\) - \(_{a1.q^{1}}\) = 12 \(\rightarrow\) a1q.(q - 1) = 12

Quando eu chego aqui não consegui resolver mais.

Obrigado pela atenção

[lucio]

Olá João

Cheguei a resposta

\(\frac{a1.(q^{3}-1)=52}{a1.(q^{2}-q)= 12}\) \(\rightarrow\) \(\frac{(q^{3}-1)=52}{(q^{2}-q)= 12}\) \(\rightarrow\) \(3q^{3}-13q^{2}+13q-3 = 0\)

S={1/3, 1 , 3} somente o número 3 satisfaz.

logo o valor de "q" é 3.

então:
a1 = 2
a2 = 6
a3 = 18
a4 = 54

somando tem-se:
2 + 6 + 18 + 54 = 80
Resposta (e)

Muito obrigado