Determine os valores de a e b que torna o sistema linear abaixo possível e indeterminado

[LeoMuniz]

| x +2y +2z = a |
| 3x +6y -4z = 4 |
| 2x +by -6z = 1 |


Passo a passo por favor
Obrigado

[josesousa]

\(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 3 & 6 & -4 \\ 2 & b & -6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a\\ 4\\ 1 \end{bmatrix}\)

Podemos usar a primeira parte do método de eliminação de Gauss para chegar a

\(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & -10 \\ 0 & b-4 & -10 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a\\ 4-3a\\ 1-2a \end{bmatrix}\)

trocando as linhas 2 e 3,

\(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & b-4 & -10 \\0 & 0 & -10 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a\\ 1-2a \\ 4-3a\end{bmatrix}\)

E simplificando ainda mais

\(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & b-4 & 0 \\0 & 0 & -10 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a\\ -3+a \\ 4-3a\end{bmatrix}\)

Para ser indeterminado, b-4 tem de ser igual a 0, ou seja, b=4, e para além disso, -3+a=0, ou seja, a=3.

Só assim temos uma igualdade do tipo 0=0, que leva a que exista uma solução possível e indeterminada.