Frequência com o maior ganho

[lgantus]

Boa tarde a todos.

Tenho um exercício para resolver e estou com dificuldade. Alguém pode me ajudar?

Obrigado

Vamos la :

Em qual frequência que o sistema G(s)= 2s/s^2+9s+20 tem o maior ganho, ou seja, ||G(s)|| é maximo? Lembrar que s=2*pi*f

[josesousa]

Sabemos que

\(s=j\pi f=j \omega\)

\(\left \| G(s) \right \|= \left \| \frac{2s}{s^2+9s+20} \right \|= \frac{\left \| 2s\right \|}{\left \| s^2+9s+20 \right \|}= \frac{\left \| 2 \omega\right \|}{\left \| -\omega^2+9j\omega+20 \right \|}=\)

\(\frac{2 \omega}{\sqrt{(20-\omega^2)^2+81\omega^2}}=\)
\(\frac{2 \omega}{\sqrt{400-40\omega^2+\omega^4+81\omega^2}}=\)
\(\frac{2 \omega}{\sqrt{400+\omega^4+41\omega^2}}\)

Se queremos maximizar a expressão anterior, podemos também maximizar o quadrado da expressão anterior, jáque numerador e denominador são positivos, ou seja, maximizar

\(\frac{4 \omega^2}{400+\omega^4+41\omega^2}\)

Aqui podemos usar técnicas de cálculo, calculando a derivada em relação a \(\omega\) e igualando a zero para encontrar o(s) extremo(s)

[lgantus]

Muito obrigado José.

Irei encontrar o máximo agora.

Atenciosamente.

Lucas