Análise das funçoes no gráfico

[jvdbr]

Considere as funções f(x)= -x +4 e g(x)= x +1 analise as seguintes afirmações sobre f e g.
I - A função f é inversível e sua inversa é a própria f.
II - A área delimitada por f, g e a parte positiva dos eixos x e y vale 5,75.
III - A área limitada por f e os eixos coordenados vale 1.
IV - Os gráficos de f e g são perpendiculares.

[Baltuilhe]

Boa tarde!
I - A função f é uma função do primeiro grau, e, tomando a função como \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), será bijetora, portanto, é inversível.
Desenvolvendo para obtermos a inversa
\(f(x)=-x+4
y=-x+4
-x+4=y
-x=y-4
x=-y+4
f^{-1}(x) = -x+4\)

Portanto, a inversa da função é ela mesma.

II - Área delimitada por f, g e a parte positiva dos eixos x e y:
A função f é decrescente, e corta o eixo y em y=4.
A função g é crescente, e corta o eixo y em y=1.
A interseção de f com g:
\(f(x)=g(x)
-x+4=x+1
-x-x=1-4
-2x=-3
2x=3
x=\frac{3}{2}\)

Então, a figura que teremos será delimitada:
De 0 a 3/2:
Esquerda pelo eixo y
Embaixo pelo eixo x
Em cima pela g(x)=x+1.

De 3/2 a 4:
Em cima pela f(x)=-x+4.
Embaixo pelo eixo x.

Se desenharmos, É um trapézio de 0 a 3/2 e um triângulo de 3/2 a 4.
\(A=\frac{(B+b)h_1}{2}+\frac{Bh_2}{2}
A=\frac{(1+2,5)1,5}{2}+\frac{2,5\times 2,5}{2}
A=\frac{3,5\times 1,5}{2}+\frac{2,5^2}{2}
A=\frac{5,25+6,25}{2}
A=5,75\)

III - A área delimitada por f vale:
Triângulo com base = 4 e altura = 4
\(A=\frac{4\times 4}{2}
A=8\)

IV - Para ser perpendicular o produto entre os coeficientes angulares deve valer -1.
\(m_f = -1
m_g = 1
m_f\times m_g = -1\times 1 = -1\)

Portanto são retas perpendiculares entre si.

Dentre todas, só a III é falsa.