Razão de Progressão Aritmética!

[francielio]

O 10º termo de uma progressão aritmética é 111 e o produto entre os 2 primeiros termos é 276. Se todos os termos dessa progressão são números inteiros, então a sua razão é igual a
A) 7. B) 8. C) 9. D) 11. E) 13.

[Baltuilhe]

Boa tarde!

\(a_{10}{=}a_{1}+9r{=}a_{2}+8r{=}111
a_{1}{=}111-9r
a_{2}{=}111-8r
a_1\cdot{a_2}{=}276
(111-9r)(111-8r){=}276
12321-888r-999r+72r^2{=}276
72r^2-1887r+12045{=}0
\Delta{=}(-1887)^2-4(72)(12045)
\Delta{=}91809
r{=}\frac{-(-1887)\pm\sqrt{91809}}{2(72)}
r{=}\frac{1887\pm{303}}{144}
r'{=}\frac{1887+303}{144}=\frac{365}{24}\approx{15,21}
r''{=}\frac{1887-303}{144}=11\)

Como os termos são números inteiros a razão é 11 (letra d)

Espero ter ajudado!

[jorgeluis]

a₁₀ = 111

a₁ . a₂ = 276


a₁ = a₁₀ - 9r
a₁ = 111 - 9r

a₉ = a₁₀ - r
a₉ = 111 - r

a₁ + a₉ = a₁₀
(111 - 9r) + (111 - r) = 111
r = 11

[Baltuilhe]

Jorge, boa tarde!

Em sua solução há duas coisas estranhas:
1a.) Não utilizou o produto entre os dois primeiros termos ser 276.
2a.) Não há como afirmar que o primeiro e o nono termos somados dão o décimo termo da progressão.
Se analisar sua conta a razão teria que dar r=111/10=11,1, e não 11.

Certo?

Abraços!

Obs.: Verifique quanto dá o primeiro e o nono termos da progressão... e veja se sua soma dá o décimo, com a razão igual a 11.

[Fraol]

Boa noite a todos,

Além das participações acima, uma forma alternativa, aplicável a este problema em particular seria fatorar \(276\) e obter \(2^2 \times 3 \times 23\) ou \(4 \times 69\) ou \(12 \times 23\). Este último produto nos dá os possíveis primeiro e segundo termos e a razão. Para verificar pode-se usar o décimo termo (111).

[jorgeluis]

Baltuilhe,

a) realmente não precisei usar.

b) consertando:

a₁ + a₉ = a₁₀ + (r - 1)
(111 - 9r) + (111 - r) = 111 + (r - 1)
r = 11


*** antes que me pergunte de onde tirei o (r-1)

funciona para P.A. de razão 1 ou 2:

a₁ + a₉ = a₁₀

funciona para P.A. de razão acima 2:

a₁ + a₉ = a₁₀ + (r-1)

[Baltuilhe]

Boa noite!

Jorge, tentei entender sua fórmula mas não compreendi.
\(a_1+a_9=a_{10}\)

Usei a fórmula do termo geral e cheguei no seguinte:
\(a_1+a_1+8r=a1+9r
a1=r\)

Não seria um caso específico?

O mesmo para a fórmula:
\(a_1+a_9=a_{10}+(r-1)
a_1+a_1+8r=a1+9r+(r-1)
a1=2r-1\)

Veja o exemplo:
\(a_1=7
r=3
a_9=a_1+8r=7+8(3)=31
a_10=a_9+r=31+3=34\)

Veja que a propriedade não funciona, claro
\(a_1+a_9=a_{10}+(r-1)
7+31=34+(3-1)
38=36\)

Perdi o fio da meada?

Obrigado pelo empenho em tentar fazer entender!

[jorgeluis]

Baltuilhe,
Perdão,
você tem razão, a minha teoria só funciona em alguns casos. Eu fiz alguns testes, e verifiquei que:

funciona em alguns casos, para PA de razão:

r = 1 ou 2
a₁ + a₉ = a₁₀

2 < r < 8
a₁ + a₉ = a₁₀ - (r - 1)

7 < r < 12
a₁ + a₉ = a₁₀ - 1

11 < r
a₁ + a₉ = 1₁₀ - (r - 1)

nessa questão, em específico, podemos usar a faixa de razão 7 < r < 12

Eu, particularmente, usarei minha teoria para resolver questões como essa, por questão de tempo.

Pois, partir do principio:[/b]

a₁ = a₁
111 - 9r = 276/(111 - 8r)
ou
a₂ = a₂
111 - 8r = 276/(111 - 9r)

me leva a calculos de valores gigantescos, ou seja, inviável, tanto em provas escolares como em provas de concursos públicos.

[jorgeluis]

Fraol,

sua alternativa, com certeza, é a melhor opção para uma questão como essa.