Montar as equações

[LPL87]

Uma escola de medicina gasta mensalmente 215 mil reais com corpo docente, corpo técnico e materiais de consumo. O total gasto com o corpo técnico adicionado ao dobro do total gasto com materiais de consumo é igual ao total gasto com o corpo docente. O total gasto com cada uma dessas três despesas é superior a 10 mil reais, e o menor gasto ocorre com materiais de consumo.
Com base na situação apresentada, é correto afirmar que o gasto total da escola, em reais, com o corpo docente é:

Resposta: superior a 115000 e inferior a 145000


Ps: estou com dificuldade para montar a equação, alguém pode ajudar?

[João P. Ferreira]

Caro, nestes casos vamos por partes dividindo o problema e estruturando o pensamento

* gasto mensal com corpo docente = 215000

* o total gasto com o corpo técnico adicionado ao dobro do total gasto com materiais de consumo é igual ao total gasto com o corpo docente
gasto com o corpo técnico=x
gasto com materiais de consumo=y

então \(x+2y=215000\)

percebe a lógica? Consegue avançar?

Estruturar o pensamento, Roma e Pavia não se fizeram num dia

[LPL87]

Caro, nestes casos vamos por partes dividindo o problema e estruturando o pensamento

* gasto mensal com corpo docente = 215000

* o total gasto com o corpo técnico adicionado ao dobro do total gasto com materiais de consumo é igual ao total gasto com o corpo docente
gasto com o corpo técnico=x
gasto com materiais de consumo=y

então \(x+2y=215000\)

percebe a lógica? Consegue avançar?

Estruturar o pensamento, Roma e Pavia não se fizeram num dia

Olá, João.
Agradeço por você ter respondido. Na verdade, eu montei duas equações: x + y + z = 215000 e x + 2y = z. O que eu não consegui foi solucionar uma terceira para conseguir resolver o problema. A parte que fala do total de gastos com cada uma das três despesas ser superior a 10000 e que o menor gasto com materiais de consumo ser o menor me confundiu. Você poderia me explicar?

[João P. Ferreira]

perdão há pouco, é muitos dados

x - gasto corpo docente,
y - gasto corpo técnico
z - gasto materiais de consumo

como muito bem colocou

\(x+y+z=215000\)

O total gasto com o corpo técnico adicionado ao dobro do total gasto com materiais de consumo é igual ao total gasto com o corpo docente

daqui tira, como muito bem colocou

\(y+2z=x\)

O total gasto com cada uma dessas três despesas é superior a 10 mil reais,
\(x>10000
y>10000
z>10000\)

e o menor gasto ocorre com materiais de consumo
\(z<x
z<y\)

agora tem de deduzir \(x\)

consegue avançar?
dúvidas diga...

[LPL87]

perdão há pouco, é muitos dados

x - gasto corpo docente,
y - gasto corpo técnico
z - gasto materiais de consumo

como muito bem colocou

\(x+y+z=215000\)

O total gasto com o corpo técnico adicionado ao dobro do total gasto com materiais de consumo é igual ao total gasto com o corpo docente

daqui tira, como muito bem colocou

\(y+2z=x\)

O total gasto com cada uma dessas três despesas é superior a 10 mil reais,
\(x>10000
y>10000
z>10000\)

e o menor gasto ocorre com materiais de consumo
\(z<x
z<y\)

agora tem de deduzir \(x\)

consegue avançar?
dúvidas diga...

Não consigo avançar. O máximo que consegui chegar foi no seguinte ( não sei se vai servir para alguma coisa): x + y > z, ou seja, x > z - y.
Como x = y + 2z, substituindo na inequação anterior o x fica assim: y + 2z > z - y. Mas isso não me serviu pra nada.

Outra coisa que tentei foi montar a terceira equação a partir da última informação da questão e ai ficou assim:

x + y + z = 215000
y+2z = x
x + y >z

Ai encontro o problema: como resolvo inequação misturado com equação? Ou o que estou fazendo está completamente errado?

Me desculpe por essas dúvidas bobas, sei que você está me incentivando a fazer o raciocínio mas eu realmente me enrolo em questões mais fáceis mesmo.

[João P. Ferreira]

Se tem

\(x+y+z=215000 \Leftrightarrow y=215000-z-x\)

\(y+2z=x\)

então

\(215000-z-x+2z=x \Leftrightarrow 2x=z+215000\)

\(x=\frac{z+215000}{2}\)

mas também sabe que

\(2x-21500=z>10000\)

logo

\(2x-215000>10000 \Leftrightarrow x>(215000+10000)/2 \Leftrightarrow x>112500\)

[LPL87]

Entendi agora. Imagino então que o gabarito da prova esteja errado.

Muito obrigado!

[João P. Ferreira]

não sei, talvez

experimente fazer exatamente o que eu fiz, mas em vez de colocar o \(z\) em evidência coloque o \(y\)