SN de 1/3, 5/9, 18/27, 58/81, 179/243

[beneditorato]

Alguém pode me ajudar e a encontrar o Sn da seguinte soma parcial:
S1=1/3
S2=5/9
S3=18/27
S4=58/81
S5=179/243
SN=?

Da sequencia 1/3, 2/9, 3/27, 4/81

[Estudioso]

Olá!

Eu não consegui enxergar uma lógica para o numerador da sequência S1, S2, S3, S4, S5, SN. Mas no denominador temos (3)¹, (3)², (3)³, ... , (3)^n.

Agora, o SN da sequência 1/3, 2/9, 3/27, 4/81, será: SN = n/(3)^n.

Vamos ver se alguém pode completar a solução para acabar de lhe ajudar.

[beneditorato]

O SN da sequencia é este mesmo, mas eu preciso saber o SN da soma parcial da sequencia. mesmo assim obrigado pela atenção amigo.

Eu imagino que tenha que multiplicar ou dividir esses termos por algo, pra encontrar a semelhança entre eles.

[Baltuilhe]

Bom dia!

Na progressão com os termos:
\(::a_1:a_2:a_3:\ldots:a_n::\)
Onde:
\(a_1=\frac{1}{3^{1}}\\
a_2=\frac{2}{3^{2}}\\
a_3=\frac{3}{3^{3}}\\
a_n=\frac{n}{3^{n}}\\\)

Pede-se para que seja encontrado a fórmula fechada para o somatório dos 'n' primeiros termos:
\(S_n=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n\)

Substituindo os valores dos termos na fórmula de somatório temos:
\(S_n=\frac{1}{3^{1}}+\frac{2}{3^{2}}+\frac{3}{3^{3}}+\ldots+\frac{n-1}{3^{n-1}}+\frac{n}{3^{n}}\) (I)

Multiplicando-se a última fórmula por 1/3 teremos:
\((1/3)S_n=\frac{1}{3^{2}}+\frac{2}{3^{3}}+\frac{3}{3^{4}}+\ldots+\frac{n-1}{3^{n}}+\frac{n}{3^{n+1}}\) (II)

Veja que todos os denominadores (potências de 3) ficaram com expoente acrescido de 1.
Agora, subtraindo (I) de (II) e desenvolvendo:
\(S_n-(1/3)S_n=\frac{1}{3^{1}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{3^{3}}+\ldots+\frac{1}{3^{n}}-\frac{n}{3^{n+1}}\\
S_n-\frac{1}{3}S_n=\frac{\frac{1}{3}\left(1-\left(\frac{1}{3}\right)^n\right)}{1-\frac{1}{3}}-\frac{n}{3^{n+1}}\\
\frac{2}{3}S_n=\frac{1}{3}\frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^n}{\frac{2}{3}}-\frac{n}{3^{n+1}}\\
\frac{2}{3}S_n=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{2}\left(1-\left(\frac{1}{3}\right)^n\right)-\frac{n}{3^{n+1}}\\
\frac{2}{3}S_n=\frac{1}{2}\left(\frac{3^n-1}{3^n}\right)-\frac{n}{3^{n+1}}\\
S_n=\frac{3}{2}\cdot\left(\frac{1}{2}\left(\frac{3^n-1}{3^n}\right)-\frac{n}{3^{n+1}}\right)\\
S_n=\left(\frac{3\cdot(3^n-1)}{4\cdot 3^n}\right)-\frac{n}{2\cdot 3^{n}}\\
S_n=\left(\frac{3^{n+1}-3-2n}{4\cdot 3^n}\right)\\
S_n=\frac{3^{n+1}-(2n+3)}{4\cdot 3^n}\)

Espero ter ajudado!