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DÚVIDAS? Nós respondemos!

Olá, amigos, gostaria que alguém pudesse me ajudar a como proceder com a seguinte questão:

Ache a transformação linear T:R2 -> R2 tal que T(3,5)=(2,4) e T(4,7)=(-1,3)

Meu professor ilustrou um método de resolução, porém achei um pouco confuso.
Agradeço desde já!

Boa noite!

Temos (3,5) e (4,7), que formam uma base para R2 e levam para (2,4), (-1,3), que também é uma base em R2 (basta calcular o determinante das matrizes com estes vetores e não dar zero).
Assim, um ponto qualquer:


Multiplicando a primeira por 5 e a segunda por -3 e somando as duas:
\(20b-21b=5x-3y\\b=-5x+3y\)

Agora, multiplicando a primeira por 7 e a segunda por -4 e somando as duas:
\(21a-20a=7x-4y\\a=7x-4y\)

Substituindo:
\((x,y)=(7x-4y)(3,5)+(-5x+3y)(4,7)\)

Aplicando-se a transformação linear:
\(T(x,y)=(7x-4y)T(3,5)+(-5x+3y)T(4,7)
T(x,y)=(7x-4y)(2,4)+(-5x+3y)(-1,3)
T(x,y)=(14x-8y,28x-16y)+(5x-3y,-15x+9y)
T(x,y)=(19x-11y,13x-7y)
T(x,y)=\left[\begin{matrix}19&-11\\13&-7\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right]\)

Testando:
T(3,5)=(19(3)-11(5),13(3)-7(5))=(57-55,39-35)=(2,4)
T(4,7)=(19(4)-11(7),13(4)-7(7))=(76-77,52-49)=(-1,3)

Espero ter ajudado!

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Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles

Há outra similar que pode ajudar também aqui

viewtopic.php?f=13&t=9984

Espero ter ajudado!

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Baltuilhe
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