progressão geométrica

[marques_gc]

Boas,

Estou com dificuldades em finalizar o seguinte exercício, pelo que agradeço a vossa colaboração.

Enunciado:

Uma progressão geométrica estritamente decrescente definida em IN*, todos os termos são positivos.

1°) Sabendo que temos \(U_{1}U_{3}= 144\) e \(U_{1}+ U_{2} + U_{3}= 63\). Determine a progressão \(\left (U_{n \right )\).

2°) Calcule \(U_{n}\) e \(S= U_{1}+U_{2}+...+ U_{n}\) em função do n.

Consegui o seguinte avanço:

1°) \(U_{2}=q U_{1}\) e \(U_{3}=q^{2} U_{1}\)

\(U_{1}U_{3}=144\) \(\Rightarrow\) \(q^{2}U_{1}^2=12^2\) \(\Rightarrow\) \(qU_{1}=12\)

sabemos que: \(U_{1}+ U_{2} + U_{3}= 63\)

Então: \(U_{1}+ qU_{1} + q^2U_{1}= 63\) \(\Rightarrow\) \(U_{1}+ 12 + q(qU_{1})= 63\)

\(U_{1}+ 12 + 12q= 63\) \(\Rightarrow\) \(U_{1} + 12q= 63 - 12\) \(\Rightarrow\) \(U_{1} + 12q= 51\)

\(U_{1}= 51 + 12q\) como \(qU_{1}=12\), então \(q(51 - 12q)=12\)

\(52q -12q^2=12\) \(\Rightarrow\) \(12q^2 - 51q + 12=0\) \(\Rightarrow\) \(4q^2-17q+4=0\)

\(\Delta =b^2-4ac = (17)^2-4(4)(4)=225\)

\(q_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-(-17)+\sqrt{\225 }}{2(4)}= 4\)

\(q_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-(-17)-\sqrt{\225 }}{2(4)}= \frac{1}{4}\)

Obtendo estes 2 resultados a minha duvida consiste dois pontos:

I) Qual será o valor a designar ao \((U_{n \right )\)?

II) Através do enunciado, estamos perante uma progressão geométrica, estritamente decrescente definida em IN, com todos os termos positivos.
Obtenho 2 valores para q: \(q_{1}=4\) e \(q_{2}=\frac{1}{4}\)

Tomei o valor de \(q_{2}=\frac{1}{4}\) como a razão da nossa progressão geométrica baseando no facto que \(q_{2}< 1\)

Estou com duvidas si com o argumento mencionado encima justifica a escolha do \(q_{2}\)

2°) Estou com duvidas enquanto ao calculo de \(U_{n}\), ou melhor gostaria que me ajudem a perceber este ponto.

Para \(S= U_{1}+U_{2}+...+ U_{n}\) em função do n:

Sabemos que \(q\neq 1\), então \(S= U_{0}\frac{1-q^{n+1}}{1 - q}\) ??? Também gostaria de contar com o vosso parecer.

Muito obrigado pelo tempo...

[João P. Ferreira]

Meu caro

Uma progressão geométrica é da forma

\(U_n=U_1.q^{n-1}\)

Ora como é decrescente, \(q<1\), assim pelas suas contas \(q=\frac{1}{4}\)

Só tem de achar \(U_1\)

Como sabe que \(U_1+U_2+U_3=63\) é equivalente a

\(U_1+q U_1 + q^2 U_1 =63\)

Como sabe \(q\) basta achar \(U_1\) para achar a forma geral \(U_n\)


Para achar a Soma, basta saber \(U_1\) e a razão \(q\)

\(S_n=\frac{U_1(q^{n}-1)}{q-1}\)

Cumprimentos

[marques_gc]

Ola João,

Consegui os resultados que encontraras mais em baixo na base do teu conselho.
Espero que tenho compreendido os passos que me indicaste!!!

\(U_n= 48+12+3=63\)

1°) Temos os seguintes dados:

\(U_{2}=qU_{1}\)

\(U_{3}=q^2U_{1}\)

\(q=< 1\) ou seja \(q=\frac{1}{4}\)

Então:

\(U_{1}= 51 - 12\left ( \frac{1}{4} \right )=48\)

\(U_{2}=\left ( \frac{1}{4} \right )48=12\)

\(U_{3}=\left ( \frac{1}{4} \right )^2 \left (48 \right )=3\)

\(\left (U_{n} \right )=\) a calcular ou seja: \(U_{n}= U_{1}+U_{2}+U_{3}=63\)

\(U_{n}=48+12+3=63\) finalmente \(U_{n}=63\)

2°) Aqui, consegui o seguinte:

\(S=\frac{U_{1}\left ( q^{n-1} \right )}{q-1}=\frac{48\left ( \frac{1}{4}^{3-1} \right )}{\frac{1}{4}-1}=-4\)

Obrigado pela ajuda e agradeço o apoio novamente.

[João P. Ferreira]

Apenas um pequeno detalhe

\(U_n=48.(\frac{1}{4})^{n-1}\)

Se reparar, ao substituir o n por 1,2,3,4... vai obter o resultado que pretende...

Assim a soma (que depende de n) é:

\(S_n=48.\frac{(1/4)^n-1}{1/4-1}\)

e não o que colocou...

Cumprimentos

[João P. Ferreira]

Não pode colocar \(U_n=63\)

Se coloca o termo \(n\) em \(U\), do outro lado tem de ter também o termo \(n\), pois o \(n\) é a variável que quando se coloca no \(U\) tem de ser colocada do outro lado do sinal de igual

Por exemplo:

\(U_n=2n^2\)

\(U_n=n+3\)

\(U_n=\frac{n}{n+1}\)

Cumprimentos

[marques_gc]

Apenas um pequeno detalhe

\(U_n=48.(\frac{1}{4})^{n-1}\)

Se reparar, ao substituir o n por 1,2,3,4... vai obter o resultado que pretende...

Assim a soma (que depende de n) é:

\(S_n=48.\frac{(1/4)^n-1}{1/4-1}\)

e não o que colocou...

Cumprimentos

Desculpa pela minha incompreensão.

Significa que o calculo de \(S_n\) será feita em separado por cada um dos valores de ; \(U_{1}, U_{2},U_{3}?\)?

Ou devemos tomar em conta a totalidade dos termos da equação e que no caso presente será n = 3 ?

[João P. Ferreira]

O termo \(S_n\) representa a soma de todos os termos até \(n\), ou seja:

\(S_1=U_1\)

\(S_2=U_1+U_2\)

\(S_3=U_1+U_2+U_3\)

\(S_4=U_1+U_2+U_3+U_4\)

\(S_5=U_1+U_2+U_3+U_4+U_5\)

\(S_n=U_1+U_2+U_3+U_4+...+U_n=U_1.\frac{q^n-1}{q-1}\)

[marques_gc]

Muito obrigado, a duvida foi embora...

Estava a ser complicado quando não parecia, mas a explicação foi óptima.

[João P. Ferreira]

De nada meu caro

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