(IME) Sistema, combinação e logaritmos

[danjr5]

Determine os valores de \(x\), \(y\), \(z\) e \(r\) que satisfazem o sistema \(\begin{cases} C_{r + y}^r = \log_y x \\ \log_y z = 4 + \log_x z \\ C_{r + y}^y = \log_x z + \log_z z \end{cases}\)

[Rui Carpentier]

Presumo que \(C_{r+y}^r={r+y \choose r}\).
Assim sendo, denotando \(n:={r+y \choose r}={r+y \choose y}\), temos que as igualdades dadas podem ser escritas da seguinte forma:

\(\left{\begin{array}{l}\log_y x=n\Leftrightarrow x=y^n\\
\log_y z=4+\log_x z \Leftrightarrow z=y^{4+\log_x z}\\
n=\log_x z +1 \Leftrightarrow \log_x z=n-1\end{array}
\right.\Rightarrow \left{\begin{array}{l}x=y^n\\
z=y^{4+n-1}=y^{n+3}\\
\log_x z=n-1\Leftrightarrow z=x^{n-1}=y^{n(n-1)}\end{array}
\right.\)

Logo \(n+3=n^2-n\Leftrightarrow n^2-2n-3=0 \Leftrightarrow n=-1 \vee n=3\). Sendo \(n={r+y \choose y}\in\mathbb{N}\), temos que \(n={r+y \choose y}=3\) (que só pode ser \({3 \choose 1}\) ou \({3 \choose 2}\)). Logo, y=1 (impossível) ou y=2.

Concluindo, os valores são y=2, r=1, x=8 e z=64.

[npl]

Era este o post que não conseguia encontrar.
Nos meus cálculos chegara à conclusão que \(x^2 = z\)
e ainda dos mesmos podia concluir que \(y^3 = x\)

mas a exposição do Rui Carpentier está mais exaustiva(completa).