sequência envolvendo progressão aritmética e geométrica

[anneodila]

Uma sequência numérica é formada por 10 números sendo que do primeiro ao quinto corresponde a uma progressão
geométrica cuja razão é 0,5 e do quinto ao décimo termo corresponde a uma progressão aritmética cuja razão é 5 e o
último termo é 50. A soma dos algarismos do primeiro termo dessa sequência é:
A) 3. B) 4. C) 5. D) 6.

[Baltuilhe]

Boa noite!

Para uma progressão aritmética (ou geométrica), podemos utilizar termos genéricos segundo as fórmulas abaixo:
Aritmética:
\(a_n=a_m+(n-m)r\)

Geométrica:
\(a_n=a_m\cdot{q^{n-m}}\)

Veja que entre dois termos (duas posições, n e m), basta fazer a diferença entre as posições para obter o que se precisa.

Vamos resolver, então, de 'trás pra frente' o problema:
Do 5º ao 10º termo é uma P.A. de razão (r) igual a 5, com último termo igual a 50. Portanto:
\(a_{10}=a_{5}+(10-5)r=a_5+(10-5)(5)
50=a_5+5(5)
a_5=50-25=25\)

Pronto! Achamos o quinto termo.

Agora temos uma P.G. de razão 0,5 (1/2) e conhecemos o quinto termo.
Portanto:
\(a_5=a_1\cdot{q^{5-1}}
25=a_1\left(\frac{1}{2}\right)^4
25=\frac{a_1}{2^4}
a_1=25\cdot{2^4}=25\cdot{16}
a_1=400\)

Então, a soma dos algarismos do primeiro termo da sequência é 4+0+0=4 B)

Espero ter ajudado!