Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Alguém poderia me ajudar com essas sequências, são muito simples mas não consigo encontrar a mesma resposta contida no livro em que estou estudando:
Sei que pelas regras não devo postar mais de uma questão num único tópico, mas estas duas são praticamente idênticas.

1) Determine o 5º termo da sequência definia por: \(\begin{cases} & \text{} a_{1}=20 \\ & \text{} 3a_{n+1}=a_{n},\ \forall n \in \mathbb{N}^{*} \end{cases}\)
Resposta: 20/9


2) Sendo a sequência (a_n) dada por \(\begin{cases} & \text{} a_{1}=1 \\ & \text{} a_{n+1}=\frac{\mathrm{4a_{n}\ +\ 1} }{\mathrm{4}}\end{cases}\), em que n é um número natural. Qual o valor de a₄₅?
Resposta: 12

Obrigado!

Vejamos a primeira:

\(a_1 = 20
a_2 = a_1/3 = 20/3
a_3 = a_2/3 = 20/9
a_4 = a_3/3 = 20/27
a_5 = a_4/3 = 20/81\)

A solução do livro está por isso errada (talvez que numa versão anterior do exercício se pedisse o terceiro termo...).

Em relação à segunda, temos que \(a_{n+1} = \frac{4 a_n + 1}{4} = a_n + \frac 14\), pelo que cada termo é obtido somabndo 1/4 ao termo anterior. Para chegar ao termo 45, temos que avançar 44 termos em relação ao primeiro, pelo que somaremos 1/4, 44 vezes, obtendo \(1+\frac{44}{4}=1+11=12\).

Caro Sobolev,
Em relação a primeira, estou encontrando esse resultado também; realmente o livro está com a resposta incorreta.
Quanto a segunda, estava pensado totalmente diferente, sua solução faz todo sentido.

Obrigado, me ajudou muito! Abraço!