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Encontrar Aproximação e Calcular Erro
https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=22&t=10778		 Página 1 de 1
Autor:  Estudioso [ 30 mar 2016, 19:44 ]
Título da Pergunta:  Encontrar Aproximação e Calcular Erro
Considere o sistema linear composto de três variáveis e três equações.

\(\left\{\begin{matrix} 13x_{1}+4x_{2}-3x_{3}=200 & \\ 2x_{1}+15x_{2}+2x_{3}=300 & \\ 3x_{1}-2x_{2}+40x_{3}=400 & & \end{matrix}\right.\)

a) Encontre uma aproximação para a solução do sistema com um erro menor que 0,001 fazendo uso do Método de Gauss-Jacobi. Escreva a solução final e calcule o erro cometido para cada equação do sistema e, apresente além disso todas as iterações e erros.

b) Faça o mesmo que foi pedido na letra "a" deste exercício mas agora fazendo uso do método de Gauss-Seidel.

Obrigado
Autor:  Baltuilhe [ 30 mar 2016, 22:22 ]
Título da Pergunta:  Re: Encontrar Aproximação e Calcular Erro
Boa tarde!

a)
Montando as equações para as iterações:
\(\begin{cases}x_1^{(k+1)}=\frac{200-4x_2^{(k)}+3x_3^{(k)}}{13}\\
x_2^{(k+1)}=\frac{300-2x_1^{(k)}-2x_3^{(k)}}{15}\\
x_3^{(k+1)}=\frac{400-3x_1^{(k)}+2x_2^{(k)}}{40}\end{cases}\)

Para primeiro valor (na iteração zero):
\(x_1=\frac{200}{13}=15,385
x_2=\frac{300}{15}=20,000
x_3=\frac{400}{40}=10,000\)

Iteração 1:
\(x_1=\frac{200-4(20)+3(10)}{13}=11,538
x_2=\frac{300-2(15,385)-2(10)}{15}=16,615
x_3=\frac{400-3(15,385)+2(20)}{40}=9,846\)

Erro 1:
\(\Delta{x_1}=11,538-15,385=-3,847
\Delta{x_2}=16,615-20,000=-3,385
\Delta{x_3}=9,846-10,000=-0,154
Erro=\frac{3,847}{16,615}=0,232>0,001\)

Iteração 2:
\(x_1=\frac{200-4(16,615)+3(9,846)}{13}=12,544
x_2=\frac{300-2(11,538)-2(9,846)}{15}=17,149
x_3=\frac{400-3(11,538)+2(16,615)}{40}=9,965\)

Erro 2:
\(\Delta{x_1}{=}12,544-11,538{=}1,006
\Delta{x_2}{=}17,149-16,615{=}0,534
\Delta{x_3}{=}9,965-9,846{=}0,119
Erro{=}\frac{1,006}{17,149}{=}0,059>0,001\)

Iteração 3:
\(x_1=\frac{200-4(17,149)+3(9,965)}{13}=12,408
x_2=\frac{300-2(12,544)-2(9,965)}{15}=16,999
x_3=\frac{400-3(12,544)+2(17,149)}{40}=9,917\)

Erro 3:
\(\Delta{x_1}=12,408-12,544=-0,136
\Delta{x_2}=16,999-17,149=-0,150
\Delta{x_3}=9,917-9,965=-0,048
Erro=\frac{0,150}{16,999}=0,009>0,001\)

Iteração 4:
\(x_1=\frac{200-4(16,999)+3(9,917)}{13}=12,443
x_2=\frac{300-2(12,408)-2(9,917)}{15}=17,023
x_3=\frac{400-3(12,408)+2(16,999)}{40}=9,919\)

Erro 4:
\(\Delta{x_1}=12,443-12,408=0,035
\Delta{x_2}=17,023-16,999=0,024
\Delta{x_3}=9,919-9,917=0,002
Erro=\frac{0,035}{17,023}=0,002>0,001\)

Iteração 5:
\(x_1=\frac{200-4(17,023)+3(9,919)}{13}=12,436
x_2=\frac{300-2(12,443)-2(9,919)}{15}=17,018
x_3=\frac{400-3(12,443)+2(17,023)}{40}=9,918\)

Erro 5:
\(\Delta{x_1}=12,436-12,443=-0,007
\Delta{x_2}=17,018-17,023=-0,005
\Delta{x_3}=9,918-9,919=-0,001
Erro=\frac{0,007}{17,018}=0,0004<0,001\)

Satisfaz o erro solicitado!

b)
As equações para realizarmos as iterações são as mesmas. O que muda é que a cada resultado novo já o utilizamos na equação seguinte caso seja necessário.

Utilizaremos os mesmos valores para a iteração zero:
\(x_1=\frac{200}{13}=15,385
x_2=\frac{300}{15}=20,000
x_3=\frac{400}{40}=10,000\)

Iteração 1:
\(x_1=\frac{200-4(20)+3(10)}{13}=11,538
x_2=\frac{300-2(11,538)-2(10)}{15}=17,128
x_3=\frac{400-3(11,538)+2(17,128)}{40}=9,991\)

Erro 1:
\(\Delta{x_1}=11,538-15,385=-3,847
\Delta{x_2}=17,128-20,000=-2,872
\Delta{x_3}=9,991-10,000=-0,009
Erro=\frac{3,847}{17,128}=0,225>0,001\)

Iteração 2:
\(x_1=\frac{200-4(11,538)+3(9,991)}{13}=12,420
x_2=\frac{300-2(12,420)-2(9,991)}{15}=17,012
x_3=\frac{400-3(12,420)+2(17,012)}{40}=9,919\)

Erro 2:
\(\Delta{x_1}=12,420-11,538=0,882
\Delta{x_2}=17,012-17,128=0,116
\Delta{x_3}=9,919-9,991=0,072
Erro=\frac{0,882}{17,012}=0,052>0,001\)

Iteração 3:
\(x_1=\frac{200-4(12,420)+3(9,919)}{13}=12,439
x_2=\frac{300-2(12,439)-2(9,919)}{15}=17,019
x_3=\frac{400-3(12,439)+2(17,019)}{40}=9,918\)

Erro 3:
\(\Delta{x_1}=12,439-12,420=0,019
\Delta{x_2}=17,019-17,012=0,007
\Delta{x_3}=9,918-9,919=-0,001
Erro=\frac{0,019}{17,019}=0,001>0,001\)

Iteração 4:
\(x_1=\frac{200-4(12,439)+3(9,918)}{13}=12,437
x_2=\frac{300-2(12,437)-2(9,918)}{15}=17,019
x_3=\frac{400-3(12,437)+2(17,019)}{40}=9,918\)

Erro 4:
\(\Delta{x_1}=12,437-12,439=0,002
\Delta{x_2}=17,019-17,019=0,000
\Delta{x_3}=9,918-9,918=0,000
Erro=\frac{0,002}{17,019}=0,0001<0,001\)

Satisfaz o erro solicitado!

Espero ter ajudado!
Autor:  Estudioso [ 31 mar 2016, 03:27 ]
Título da Pergunta:  Re: Encontrar Aproximação e Calcular Erro
Muitíssimo obrigado meu amigo :)

Abraço
Autor:  Sobolev [ 31 mar 2016, 09:24 ]
Título da Pergunta:  Re: Encontrar Aproximação e Calcular Erro
Em relação a (a), apenas um comentário em relação à resolução do Baltuilhe: A diferença entre iteradas consecutivas é apenas um indicador da magnitude do erro, não é necessariamente um majorante do erro, podem sempre encontrar-se exemplos em que o critério não funciona. Além disso deve ser escolhido o modo de medir o erro, isto é, a norma utilizada, sendo que na análise numérica de sistemas lineares, a norma euclideana não é habitualmente a mais conveniente (realmente usou a chamada norma "infinito").

Além disso, no cálculo do erro está a usar um estimativa do erro relativo... Quando nada é dito deve-se assumir o uso do erro absoluto.

Neste caso julgo que o mais correcto seria usar uma das estimativas de erro disponíveis para o método de Jacobi, concretamente, designando por z a solução exacta,

\(||z - x^{(n+1)}|| \leq \frac{L}{1-L} ||x^{(n+1)}-x^{(n)}||\)

A constante L é a norma da matriz de iteração que é dada por \(-D^{-1}(L+U)\), onde D é diagonal, L triangular inferior e U triangular superior e A=L+D+U. Neste caso

\(D^{-1}(L+U)= \left(\begin{array} 0 & \frac{4}{13} & -\frac{3}{13}\\\frac{2}{15} & 0 & \frac{1}{15}\\ \frac{3}{40}& -\frac{2}{40} & 0 \end{array}\right)\),

Cuja norma é \(||D^{-1}(L+U)||_{\infty} = \max \{\frac{7}{13}, \frac{3}{15}, \frac{5}{40}\} =\frac{7}{13}\), pelo que \(\frac{L}{1-L} = \frac 76\) Assim, usando os cálculos do Baltuilhe,

\(||z - x^{(1)}||_{\infty} \leq \frac 76 \|x^{(1)}-x^{(0)}||_{\infty} = 4.48817\)

\(||z - x^{(2)}||_{\infty} \leq \frac 76 \|x^{(2)}-x^{(1)}||_{\infty} = 1.23667\)

\(||z - x^{(3)}||_{\infty} \leq \frac 76 \|x^{(3)}-x^{(2)}||_{\infty} = 0.175\)

\(||z - x^{(4)}||_{\infty} \leq \frac 76 \|x^{(4)}-x^{(3)}||_{\infty} = 0.0408333\)


\(||z - x^{(5)}||_{\infty} \leq \frac 76 \|x^{(5)}-x^{(4)}||_{\infty} = 0.00816667\)

Assim, na minha opinião, ainda deveriam ser calculadas mais iteradas. Reparem que não estou a dizer que a solução apresentada pelo Baltuilhe não verifica a restrição de erro (na realidade até verifica), apenas que o processo usado não garante em geral que isso aconteça.
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