Quantas Pessoas Pagaram a Conta?

[Orth.R]

Um grupo de amigos foi a um restaurante comemorar o aniversário de dois deles. No final, o valor da conta foi de R$ 360,00. Feita a divisão de quanto cada um deveria pagar, um deles propôs que os aniversariantes não entrassem na divisão, e, com isso, cada um dos outros teve de pagar R$ 6,00 a mais. Quantas pessoas pagaram a conta?

[jackrussell]

Sendo x o número de pessoas, na primeira divisão temos que cada uma paga um valor \(v_1=\frac{360}{x}\).

Na segunda divisão, cada uma das x-2 pessoas paga \(v_2=\frac{360}{x-2}\).

É dito que \(v_2=v_1+6\)
Então:
\(\frac{360}{x-2}=\frac{360}{x}+6\Rightarrow 360x=360(x-2)+6(x-2)(x)\)


\(6x^{2}-2x-120=0\Rightarrow x=12\; ou \; x=-10\)

Como x é positivo, temos 12 pessoas.

Conferindo:
\(v_1=\frac{360}{12}=30\; ; v_2=\frac{360}{10}=36\)

[jackrussell]

Esqueci de responder a pergunta em si.
Como temos 12 pessoas no total, 10 pagaram a conta.

[jorgeluis]

x= n^o de amigos
y=valor pago por cada um do grupo
y+6=valor pago por cada um do grupo, exceto, os aniversariantes

\(y=\frac{360}{x}
y+6=\frac{360}{x-2}
y=\frac{360}{x-2}-6\)

assim,
\(\frac{360}{x}=\frac{360}{x-2}-6
\frac{360}{x}=\frac{360-(6x-12)}{x-2}
360x-720=-6x^2+372x
6x^2-12x-720=0\)
dividindo a equação por 6, temos:
\(x^2-2x-120=0\)

\(\Delta =b^2-4ac
\Delta =484\)

\(x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}
x=12\)

Conclusão:
\((x-2)=10\) pessoas pagaram a conta