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| Discussão de sistema linear https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=22&t=1190 |
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| Autor: | Martix [ 08 dez 2012, 18:31 ] |
| Título da Pergunta: | Discussão de sistema linear |
Quais são as condições de existência para sistemas de equações, tipo: Para que esse sistema seja possível, quais devem ser os valores de \(a\), \(b\) e \(c\): \(\begin{cases} x + 2y + 3z = a \\ y + 2z = b \\ 3x - y -5cz = 0 \end{cases}\) |
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| Autor: | danjr5 [ 09 dez 2012, 16:54 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Discussão de sistema linear |
Olá Martix, seja bem-vindo(a) ao fórum! Um sistema é possível quando admite solução. Ele pode ser: - determinado ===> ÚNICA solução; - indeterminado ==> INFINITAS soluções. Através do determinante podemos discutir o sistema, veja: - Se o determinante \(\fbox{D \neq 0}\), o sistema será POSSÍVEL DETERMINADO; - Se \(\fbox{D = 0}\), o sistema poderá ser POSSÍVEL INDETERMINADO ou IMPOSSÍVEL. Nota: se estivéssemos diante de um sistema onde as variáveis fossem apenas \(x, y, z\), faríamos \(\fbox{D \neq 0}\), pois, teríamos a resposta de forma mais rápida/direta. No entanto, temos \(a, b, c\), então, presumimos que haja infinitas soluções fazendo o determinante igual a zero. Calculemos \(D\): \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 3 & - 1 & - 5c \end{bmatrix} = 0\) \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & | 0 & 1 \\ 3 & - 1 & - 5c &| 3 & - 1\end{bmatrix} = 0\) \(- 5c + 12 - 9 + 2 = 0\) \(- 5c = - 5\) \(\fbox{\fbox{c = 1}}\) Calculemos \(D_x\): \(\begin{bmatrix} a & 2 & 3 \\ b & 1 & 2 \\ 0 & - 1 & - 5c \end{bmatrix} = 0\) \(\begin{bmatrix} a & 2 & 3 \\ b & 1 & 2 \\ 0 & - 1 & - 5 \end{bmatrix} = 0\) \(\begin{bmatrix} a & 2 & 3 & | a & 2 \\ b & 1 & 2 & | b & 1 \\ 0 & - 1 & - 5 &| 0 & - 1\end{bmatrix} = 0\) \(- 5a - 3b + 2a + 10b = 0\) \(- 3a + 7b = 0\) \(\fbox{\fbox{a = \frac{7b}{3}}}\) Lembrando que consideramos o sistema como indeterminado (infinitas soluções), logo, atribuindo valores a \(b\) teremos \(a\). Daí, \(\fbox{\fbox{\fbox{a = \frac{7t}{3}}}}\) \(\fbox{\fbox{\fbox{b = t}}}\) \(\fbox{\fbox{\fbox{c = 1}}}\) Nota: \(t\) é uma variável qualquer! Comente qualquer dúvida! Daniel F. |
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