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MensagemEnviado: 06 nov 2016, 12:18 
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Não consegui entender esta questão. Alguém poderia solucionar?
A partir de um ponto A0 da parábola de equação y=x² situado no primeiro quadrante do sistema de coordenadas xOy, constroem-se as seqüências de pontos {An} e {Bn} nesta parábola satisfazendo às seguintes condições:
- a inclinação dos segmentos AjBj, com j ≥ 0, é igual a -1/5;
- a inclinação dos segmentos BjAj+1, com j ≥ 0, é igual a 1/4.
Considerando an a abscissa do ponto An e bn a abscissa do ponto Bn, julgue os itens seguintes.

(1) Os pontos Aj Bj, Bj+1, Aj+1, com j ≥ 0, são vértices de um trapézio isósceles. (F)
(2) an + bn = 1/4 (F)
(3) {an} é uma progressão aritmética de razão maior que 1/2.(F)
(4) {bn} é uma progressão aritmética de razão negativa.(V)


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MensagemEnviado: 07 nov 2016, 18:59 
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- a inclinação dos segmentos AjBj, com j ≥ 0, é igual a -1/5;

\(\dfrac{b_j^2-a_j^2}{b_j-a_j} = -\frac 15 \Leftrightarrow b_j + a_j = -\frac 15\)

- a inclinação dos segmentos BjAj+1, com j ≥ 0, é igual a 1/4.

\(\dfrac{a_{j+1}^2-b_j^2}{a_{j+1}-b_j} = \frac 14 \Leftrightarrow a_{j+1} + b_j = \frac 14\)

\(a_0
b_0 = -\frac 15 - a_0
a_1 = \frac 14 - b_0 = \frac 14 +\frac 15 + a_0
b_1 = -\frac 15 -a_1 = -\frac 25-\frac 14 - a_0
\vdots\)


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MensagemEnviado: 08 nov 2016, 02:19 
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Olá Soboleve, muito grato pela ajuda. Como sempre, seu conhecimento nos ajuda bastante nestas questões de demonstrações. Tentei seguir seu raciocínio como segue abaixo e resolvi as afirmações como se segue. Apenas a 1) referente ao trapézio isósceles não consegui, pois tenho dúvida na montagem do gráfico. Segue no anexo o que eu imaginei; escolhi o ponto (1,1) da parábola e por ele tracei as retas com as inclinações 1/4 e -1/5. Nestas retas escolhi os pontos de abcissas 2 e 4 e montei o trapézio (que não é isósceles). Poderia verificar se a resolução das afirmativas foi pelo caminho certo ou me perdi pelo caminho?

Continuando seu raciocínio calculei mais dois pontos

a2 = 1/4 – b1 = 1/4 + 2/5 +1/4 + a0
b2 = -1/5 – a2 = -1/5 -2/4 – 2/5 – a0 = -3/5 - 2/4 - a0
...
...
Nas afirmações,

1) Não consegui justificar(depende da análise do gráfico anexo se estiver correto).

2) Afirmação: an + bn = 1/4
Como an e bn estão em P.A. 
an = a1 + (n-1).r
bn = b1 + (n-1).r
an + bn = 1/4+1/5 + a0 + -2/5 - 1/4 - a0
an + bn = -1/5 ≠ 1/4 (F)

3) Afirmação: P.A. com r > 0,5
a2 – a1 = 1/4 + 2/5 + 1/4 + a0 – 1/4 - 1/5 - a0 =
a2 – a1 = 1/4 + 1/5 = 9/20 = 0,45

a1 – a0 = 1/4 + 1/5 + a0 – a0 = 1/4 + 1/5 =
a1 – a0 = 1/4 + 1/5 = 9/20 = 0,45
r = 0,45 < 0,50 (F)

4) ) Afirmação: P.A. com r < 0
b2 – b1 = -3/5 -2/4 – a0 + 2/5 +1/4 + a0 = -1/5 - 1/4
b2 – b1 = - 1/5 – 1/4 = -9/20
b1 – b0 = -2/5 – 1/4 - a0 +1/5 + a0 =
b1 – b0 = 1/5 – 1/4 = -9/20
r = -9/20 < 0 (V)


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MensagemEnviado: 08 nov 2016, 10:15 
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Repare que todos os quatro pontos estão sobre o gráfico da parábola. Anexo um gráfico onde, considerando \(a_0 =1\) coloquei os pontos \((a_2, a_2^2),(b_2,b_2^2),(a_3,a_3^2), (b_3,b_3^2)\), isto é, os pontos \(A_2, B_2,A_3, B_3\). Para provar o pretendido apenas tem que ver que a recta que contém \(A_2, B_2\) é paralela à recta que contém \(A_3, B_3\).


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MensagemEnviado: 08 nov 2016, 15:32 
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Trapézio isósceles as retas são paralelas e portanto tem o mesmo coeficiente angular.

Fazendo:

\(\frac{b_{2}^{2}-a_{2}^{2}}{b_{2}-a_{2}} = \frac{b_{3}^{2}-a_{3}^{2}}{b_{3}-a_{3}}\)

\(\frac{(b_{2}-a_{2}).(b_{2}+a_{2})}{(b_{2}-a_{2})}\) =\(\frac{(b_{3}-a_{3}).(b_{3}+a_{3})}{(b_{3}-a_{3})}\)

\(b_{2}+a_{2}=b_{3}+a_{3} \rightarrow b_{3}-b_{2}=a_{3}-a_{2}\)

Como as razões da reta A e B são diferentes as retas nãos são paralelas e portanto o trapézio não é isósceles.

Creio que seria esta demonstração, o que acha? Coloquei um gráfico esquemático anexo para tentar melhor visualizar o enunciado, acho está correto agora.


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MensagemEnviado: 10 nov 2016, 10:37 
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Repare que a inclinação dos segmentos \(A_j B_j\) é igual a -1/5, para qualquer valor de j. Assim, tanto o segmento \(A_jB_j\) como o segmento \(A_{j+1} B_{j+1}\) têm o mesmo declive... A afirmação é por isso verdadeira.


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MensagemEnviado: 10 nov 2016, 22:37 
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Olá Sobolev, desculpe os vários questionamentos mas é do meu perfil caso não consiga entender, o mínimo que seja, questionar. As vezes um pequeno detalhe revela todo a solução e clareia todo o pensamento. Seno assim , entendi que realmente os declives são iguais mas os lados não paralelos não teriam tamanhos diferentes e portanto assim não seria um trapézio isósceles?
Montei um gráfico com a inclinação do enunciado (-1/4) para dois pontos consecutivos. As inclinações permanecem as mesmas mas o comprimento dos lados do trapézio não têm o mesmo tamanho. (10,24 - 4,84) ≠ (9-5) → 5,40 ≠ 5
Onde estaria o erro?


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MensagemEnviado: 11 nov 2016, 10:19 
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Faz bem em questionar! Realmente eu não prestei a devida atenção ao enunciado, só agora reparei que falavam num trapézio isósceles. Realmente a afirmação é falsa.


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MensagemEnviado: 11 nov 2016, 15:24 
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Ótimo,, então assim tudo se esclareceu e eu compreendi perfeitamente suas explicações. Muito grato por elas.


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