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MensagemEnviado: 23 nov 2016, 18:11 
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Estou com dificuldades nesta questão. Alguém poderia ajudar?
Sejam Pn, P2n e P3n os produtos dos n, 2n e 3n primeiros termos, respectivamente, de uma progressão geométrica cujo primeiro termo a1 e cuja razão q são números reais não nulos. Então, o
quociente P3n/(Pn.P2n) depende: (R: letra c)
a) apenas de n.
b) apenas de a1 e n.
c) apenas de q e n.
d) de q, a1 e n.
e) nem de q, nem de a1, nem de n.


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MensagemEnviado: 23 nov 2016, 21:27 
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Os termos da progressão são dados por \(a_n = a_1 q^n\), assim,

\(P_n = \prod_{i=1}^n a_1 q^i = a_1^n q^{\frac{n(n+1)}{2}}\)

\(P_{2n} = \prod_{i=1}^{2n} a_1 q^i = a_1^{2n} q^{\frac{2n(2n+1)}{2}}\)

\(P_{3n} = \prod_{i=1}^{3n} a_1 q^i = a_1^{3n} q^{\frac{3n(3n+1)}{2}}\)

\(\frac{P_{3n}}{P_n P_{2n}} = \dfrac{a_1^{3n} q^{\frac{3n(3n+1)}{2}}}{a_1^n q^{\frac{n(n+1)}{2}}a_1^{2n} q^{\frac{2n(2n+1)}{2}}}= q^{\frac 12(3n(3n+1)-n(n+1)-2n(2n+1))} = q^{2n^2}\)

Opção (C).


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MensagemEnviado: 05 dez 2016, 23:03 
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Caro Sobolev, voltei a analisar esta questão e no expoente não haveria uma subtração no lugar da adição nas expressões dos produtos ? ou seja, teríamos P(n): \(a1^{n}.q^{\frac{n(n-1)}{2}}\) ...

Se tivermos uma PG (1, 2, 4, 8)
P(4) = 1 . 2 . 4 . 8 = 64
Na equação acima: 1 . 2^6 = 64 (OK)

Na sua equação: 1 . 2^10 = 1024 (?)


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MensagemEnviado: 06 dez 2016, 08:55 
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As fórmulas que escrevi partem do principio que ao primeiro termo da sucessão corresponde o índice \(n=1\). Para que ao exemplo que propõe ser aplicada a fórmula teríamos que olhar para a progressão como
\(\frac 12 \cdot 2^1, \frac 12 \cdot 2^2, \frac 12 \cdot 2^3, \frac 12 \cdot 2^4\)

ou seja, \(a_1 = \frac 12, n=4\), o que levaria a

\(P_4 = \left(\frac 12 \right)^4 2^{\frac{4\times 5}{2}} = \frac{2^{10}}{2^4} = 2^6\)


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MensagemEnviado: 06 dez 2016, 12:49 
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Ainda não consegui compreender Sobolev:

Voltando ao exemplo da PG (1, 2, 4, 8)
P(4) = 1 . 2 . 4 . 8 = 64
P(3) = 1 . 2 . 4 = 8
P(2) = 1 . 2 = 2
P(1) = 1
\(a_1^{n}.q^{\frac{n(n-1)}{2}}\)
a1 = 1, a2 = 2, a3 = 4 e a4 = 8

Para n=1 temos P(1) = 1^1 . 2^0 = 1
Para n=2 temos P(2) = 1^2 . 2^1 = 2
Para n=3 temos P(3) = 1^3 . 2^3 = 8
Para n=4 temos P(4) = 1^4 . 2^6 = 64

Por que a necessidade de meu a1 ser = 1/2 se com a1 = 1 a expressão P(n) foi atendida para todo n como demonstrado?


Voltando a sua expressão:

Utilizando a mesma PG (1,2,4,8)

\(P(1) = a_1^{n}.q^{\frac{n.(n+1)}{2}} = 1^{1} .2^{1}=2\\\\ P(2) = 1^{2} .2^{3}=8\\\\ P(3) = 1^{3} .2^{6}= 64\\\\ P(4) = 1^{4} .2^{10}=1024\)\\\\

Os resultados não conferem...??? onde está o erro?

Você utilizou como termo geral da PG \(a^{n}=a^_1.q^{n}\) mas o temo geral não seria \(a_n=a_1.q^{n-1}\)?


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MensagemEnviado: 06 dez 2016, 17:06 
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Não há qualquer icompatibilidade nos resultados... Como disse antes, a fórmula que escrevi pressupõe que o primeiro termo tem índice n=1. O termo geral da sucessão que propõe seria então

\(a_n = \frac 12 \cdot 2^n, n =1,2,3, \cdots\)

Se substituir obtém

\(1, 2, 4, 8\), quando \(n=1, 2, 3, 4\).

Assim, a fórmula que propus deve ser aplicada considerando \(a_1 = \frac 12\) e \(q = 2\) ( e neste exemplo concreto n=4). Voçê está a usar \(a_1 = 1\), o que não é correcto. Quando começamos os termos em n=1 e usamos a \(a_n = a_1 q^n\), devemos usar os valores que referi antes para \(a_1\) e \(q\). Na fórmula que construi \(a_1\) não é o primeiro termo da sucessão, é apenas uma constante que multiplica \(q^n\).

\(1 \times 2 \times 4 \times 8 = P(4) = \left(\frac 12 \right)^4 2\frac{4(4+1)}{2}} = ...\)

A sus fórmula também está correcta, correspondem a calcular as constantes considerando \(a_n = a_1 q^{n-1}\). As sucessões são as mesmas, mas a expressão dos termos gerais é diferente, e afórmula dos produtos deve ser adaptada em conformidade.

Se lhe causa menos confusão, na minha fórmula não chame \(a_1\) à constante que multiplica \(q^n\)...


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MensagemEnviado: 06 dez 2016, 19:44 
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Realmente estava considerando seu a1 como primeiro termo e não como uma constante, por isso a inconsistência.

Concluindo, então sua fórmula geral seria \(\frac{1}{2}^{n}.q^{\frac{n(n+1)}{2}\) e posso considerar minha fórmula também como correta?


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MensagemEnviado: 06 dez 2016, 23:24 
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Sim, é isso mesmo!


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MensagemEnviado: 07 dez 2016, 02:36 
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Muito grato pelas explanações Sobolev, até a próxima!


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