Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Alguém pode ajudar nesta questão? Desde já fico imensamente grato.

Considere a seguinte seqüência de resistores de 1Ω, em que se acrescenta em cada passo , alternadamente, um resistor em série e outro em paralelo com o conjunto de resistores do passo anterior.

Sabendo que, se dois resistores de SΩ e TΩ estão em série, a resistência equivalente é igual à soma (S+T)Ω e que, caso estejam em paralelo, a resistência equivalente, R, é dada por 1/R=(1/S)+(1/T), e considerando R(n) a resistência equivalente total obtida no n-ésimo passo da seqüência acima descrita, julgue o item que se segue

Se \(R(2j) = \frac{a_{2j}}{b_{2j}}\) em que j, \(a_{2j}\) e \(b_{2j}\) são números naturais, com j ≥ 1, então \(a_{2j+1} = a_{2j}\) e \(a_{2j}=a_{2j-1}\) +\(b_{2j-1}\)

para todo j ≥ 1 (Verdadeiro).

Confesso que não percebo a pergunta na totalidade

o que significa adicionar um resistor ao passo anterior, é como está na imagem?

Ou seja, o resitor que é adicionado em paralelo, esse paralelo é adicionado apenas à iteração anterior ou ao conjunto como na imagem?

Neste caso verifica-se que

\(R_1=1\)

\(R_2=\frac{1}{\frac{1}{1}+\frac{1}{1+1}}=\frac{2}{3}\)

\(R_3=\frac{1}{\frac{1}{1}+\frac{1}{2/3+1}}=\frac{5}{8}\)

e por aí em diante

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João Pimentel Ferreira
 
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Não lhe dês o peixe, ensina-o a pescar (provérbio chinês)
Fortalecemos a quem ajudamos pouco, mas prejudicamos se ajudarmos muito (pensamento budista)}

Desculpe João faltou o anexo, Segue agora com o enunciado completo. a questão tinha outras alternativas para avaliação mas eu consegui resolver.
Faltou apenas esta alternativa que postei mas não entendi o enunciado. Segue o anexo

Repare que para \(n\) par

\(R(n)=R(n-1)+1\)

e que para \(n\) ímpar

\(R(n)=\frac{1}{1+\frac{1}{R(n-1)}}\)

substituindo

\(n=2.i, \ i \in \mathbb{N}\) para os pares e

\(n=2.i+1, \ i \in \mathbb{N}\) para os ímpares

ficamos com

\(\left\{\begin{matrix} R(1)=1 \\ R(2i)=R(2i-1)+1 \\ R(2i+1)=\frac{1}{1+\frac{1}{R(2i)}} \end{matrix}\right \ \ \ \ \ i \in \mathbb{N} \ \wedge \ i \geq 2\)

terá que desenvolver a partir daqui

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João Pimentel Ferreira
 
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Agradeço muito João suas explicações mas confesso que ainda não visualizei a demonstração.
Você demonstrou a relação dos Resistores equivalentes, mas esta relação eu já tinha percebido em outra alternativa que não postei, inclusive já tinha calculado os valores como se segue, que comprova a sua relação.
R1 = 1
R2 = 1 + 1 = 2
R3 = 2 // 1 = 2/2 (1 / (1/2 + 1) = 1 / (3/2) = 2/3
R4 = 2/3 + 1 = 5/3
R5 = 5/3 // 1 = 5/8
R6 = 5/8 + 1 = 13/8
R7 = 13/8 // 1 = 21/8

O que não visualizo é o que ele quer dizer com a demonstração do enunciado:
Seria por exemplo: para j = 1
R(2) = a2/b2 com a(2+1) = a2 ---> a3 = a2 e a2 = a(2-1) + b(2-1) --> a2 = a1 + b1
Seria por exemplo: para j = 2
R(4) = a4/b4 com a(4+1) = a4 ---> a5 = a4 e a2 = a(4-1) + b(4-1) --> a3 = a3 + b3...
Se for isto não consigo encaixar isto na resolução...????
Novamente grato se puder me ajudar...

Confesso que também não percebo totalmente o enunciado, mas presumo que esteja relacionado com as equações que coloquei

se reparar desta última equação:

\(R(2i+1)=\frac{1}{1+\frac{1}{R(2i)}} \Leftrightarrow \\ \\ \\ \Leftrightarrow \frac{1}{R(2i+1)}=1+\frac{1}{R(2i)} \Leftrightarrow \\ \\ \\ \Leftrightarrow R(2i)=\frac{1}{1-\frac{1}{R(2i+1)}}\)

e agora pode igualar com a segunda equação

\(\frac{1}{1-\frac{1}{R(2i+1)}}=R(2i-1)+1\)

mas também não estou a ver!

Outra solução pode ser tentar substituir numa das fórmulas lá de cima o \(n\) por \(\frac{a_{2j}}{b_{2j}}\)

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João Pimentel Ferreira
 
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João tentei dessa forma , veja o que acha:
Para j =1
R(2) = a2 / b2
Mas R(2) =2  a e b ∊ N então a2 = 2 e b2 = 1
Do enunciado a(2j + 1) = a(2j):
a(2 + 1) = a(2) → a(3) = a(2) portanto a(3) = 2
a(2) = a(2-1) + b(2-1) → a(2) = a(1) + b(1) → 2 = a(1) + b(1) portanto a(1) = 1 e b(1) = 1

Para j =2
R(4) = a(4) / b(4)
Mas R(4) = 5/3 por identidade a(4) = 5 e b(4) = 3
Do enunciado a(2j + 1) = a(2j):
a(4 + 1) = a(5) → a(5) = a(4) portanto a(5) = 5
Do enunciado a(2j) = a(2j-1) + b(2j-1)
a(4) = a(4-1) + b(4-1)  a(4) = a(3) + b(3) → b(3) = a(4) – a(3) → b(3) = 5 – 2 portanto b(3) = 3

Para j =3
R(6) = a(6) / b(6)
Mas R(6)= 13/8 por identidade a(6)=13 e b(6) =8
Do enunciado a(2j + 1) = a(2j)
a(6 + 1) = a(6) → a(6) = a(7) portanto a(7) = 13
Do enunciado a(2j) = a(2j-1) + b(2j-1)
a(6) = a(6-1) + b(6-1) → a(6) = a(5) + b(5) → b(5) = a(6) – a(5) → b(5) = 13 – 8 portanto b(5) = 5

a(1, 2, 2, 5, 5,13, 13...)
b(1, 1, 3, 3, 8, 8...)

Verificando: a(2j + 1) = a(2j) e a(2j) = a(2j-1) + b(2j-1)

p/j = 1  a(3) = a(2) e a(2) = a(1) + b(1)
2 = 2 e 2 = 1 + 1 (OK)

p/j = 2  a(5) = a(4) e a(4) = a(3) + b(3)
5 = 5 e 5 = 2 + 3 (OK)

p/j = 3  a(7) = a(6) e a(6) = a(5) + b(5)
13 = 13 e 13 = 5 + 8 (OK)
... ...

Parece-me que está bem

Mas julgo que o objetivo seria fazer a demonstração de uma forma geral.

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João Pimentel Ferreira
 
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repare ainda que \(R(2j)\) para \(j\) natural, é o mesmo que dizer \(R(n)\), sendo \(n\) natural e par

logo das fórmulas que coloquei em cima e do enunciado pode deduzir que

\(R({2j})=\frac{a_{2j}}{b_{2j}}=R({2j}-1)+1=\frac{a_{{2j}-1}}{b_{{2j}-1}}+1\)
logo

\(\frac{a_{2j}}{b_{2j}}=\frac{a_{{2j}-1}}{b_{{2j}-1}}+1\) (1)


E \(R(2j+1)\) é equivalente a dizer \(R(n)\), para \(n\) natural e ímpar
logo

\(R(2j+1)=\frac{1}{1+\frac{1}{R(2j)}}\)

então

\(\frac{a_{2j+1}}{b_{2j+1}}=\frac{1}{1+\frac{b_{2j}}{a_{2j}}}\) (2)

só juntar (1) com (2) e está quase

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João Pimentel Ferreira
 
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