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| Associação de resistores em progressão https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=22&t=12065 |
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| Autor: | petras [ 24 nov 2016, 14:22 ] |
| Título da Pergunta: | Associação de resistores em progressão |
Alguém pode ajudar nesta questão? Desde já fico imensamente grato. Considere a seguinte seqüência de resistores de 1Ω, em que se acrescenta em cada passo , alternadamente, um resistor em série e outro em paralelo com o conjunto de resistores do passo anterior. Sabendo que, se dois resistores de SΩ e TΩ estão em série, a resistência equivalente é igual à soma (S+T)Ω e que, caso estejam em paralelo, a resistência equivalente, R, é dada por 1/R=(1/S)+(1/T), e considerando R(n) a resistência equivalente total obtida no n-ésimo passo da seqüência acima descrita, julgue o item que se segue Se \(R(2j) = \frac{a_{2j}}{b_{2j}}\) em que j, \(a_{2j}\) e \(b_{2j}\) são números naturais, com j ≥ 1, então \(a_{2j+1} = a_{2j}\) e \(a_{2j}=a_{2j-1}\) +\(b_{2j-1}\) para todo j ≥ 1 (Verdadeiro). |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 25 nov 2016, 14:56 ] | ||
| Título da Pergunta: | Re: Associação de resistores em progressão | ||
Confesso que não percebo a pergunta na totalidade o que significa adicionar um resistor ao passo anterior, é como está na imagem? Ou seja, o resitor que é adicionado em paralelo, esse paralelo é adicionado apenas à iteração anterior ou ao conjunto como na imagem? Neste caso verifica-se que \(R_1=1\) \(R_2=\frac{1}{\frac{1}{1}+\frac{1}{1+1}}=\frac{2}{3}\) \(R_3=\frac{1}{\frac{1}{1}+\frac{1}{2/3+1}}=\frac{5}{8}\) e por aí em diante
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| Autor: | petras [ 25 nov 2016, 22:26 ] | ||
| Título da Pergunta: | Re: Associação de resistores em progressão | ||
Desculpe João faltou o anexo, Segue agora com o enunciado completo. a questão tinha outras alternativas para avaliação mas eu consegui resolver. Faltou apenas esta alternativa que postei mas não entendi o enunciado. Segue o anexo
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| Autor: | João P. Ferreira [ 30 nov 2016, 15:06 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Associação de resistores em progressão |
Repare que para \(n\) par \(R(n)=R(n-1)+1\) e que para \(n\) ímpar \(R(n)=\frac{1}{1+\frac{1}{R(n-1)}}\) substituindo \(n=2.i, \ i \in \mathbb{N}\) para os pares e \(n=2.i+1, \ i \in \mathbb{N}\) para os ímpares ficamos com \(\left\{\begin{matrix} R(1)=1 \\ R(2i)=R(2i-1)+1 \\ R(2i+1)=\frac{1}{1+\frac{1}{R(2i)}} \end{matrix}\right \ \ \ \ \ i \in \mathbb{N} \ \wedge \ i \geq 2\) terá que desenvolver a partir daqui |
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| Autor: | petras [ 30 nov 2016, 18:36 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Associação de resistores em progressão |
Agradeço muito João suas explicações mas confesso que ainda não visualizei a demonstração. Você demonstrou a relação dos Resistores equivalentes, mas esta relação eu já tinha percebido em outra alternativa que não postei, inclusive já tinha calculado os valores como se segue, que comprova a sua relação. R1 = 1 R2 = 1 + 1 = 2 R3 = 2 // 1 = 2/2 (1 / (1/2 + 1) = 1 / (3/2) = 2/3 R4 = 2/3 + 1 = 5/3 R5 = 5/3 // 1 = 5/8 R6 = 5/8 + 1 = 13/8 R7 = 13/8 // 1 = 21/8 O que não visualizo é o que ele quer dizer com a demonstração do enunciado: Seria por exemplo: para j = 1 R(2) = a2/b2 com a(2+1) = a2 ---> a3 = a2 e a2 = a(2-1) + b(2-1) --> a2 = a1 + b1 Seria por exemplo: para j = 2 R(4) = a4/b4 com a(4+1) = a4 ---> a5 = a4 e a2 = a(4-1) + b(4-1) --> a3 = a3 + b3... Se for isto não consigo encaixar isto na resolução...???? Novamente grato se puder me ajudar... |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 01 dez 2016, 00:53 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Associação de resistores em progressão |
Confesso que também não percebo totalmente o enunciado, mas presumo que esteja relacionado com as equações que coloquei se reparar desta última equação: \(R(2i+1)=\frac{1}{1+\frac{1}{R(2i)}} \Leftrightarrow \\ \\ \\ \Leftrightarrow \frac{1}{R(2i+1)}=1+\frac{1}{R(2i)} \Leftrightarrow \\ \\ \\ \Leftrightarrow R(2i)=\frac{1}{1-\frac{1}{R(2i+1)}}\) e agora pode igualar com a segunda equação \(\frac{1}{1-\frac{1}{R(2i+1)}}=R(2i-1)+1\) mas também não estou a ver! Outra solução pode ser tentar substituir numa das fórmulas lá de cima o \(n\) por \(\frac{a_{2j}}{b_{2j}}\) |
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| Autor: | petras [ 01 dez 2016, 12:34 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Associação de resistores em progressão |
João tentei dessa forma , veja o que acha: Para j =1 R(2) = a2 / b2 Mas R(2) =2 a e b ∊ N então a2 = 2 e b2 = 1 Do enunciado a(2j + 1) = a(2j): a(2 + 1) = a(2) → a(3) = a(2) portanto a(3) = 2 a(2) = a(2-1) + b(2-1) → a(2) = a(1) + b(1) → 2 = a(1) + b(1) portanto a(1) = 1 e b(1) = 1 Para j =2 R(4) = a(4) / b(4) Mas R(4) = 5/3 por identidade a(4) = 5 e b(4) = 3 Do enunciado a(2j + 1) = a(2j): a(4 + 1) = a(5) → a(5) = a(4) portanto a(5) = 5 Do enunciado a(2j) = a(2j-1) + b(2j-1) a(4) = a(4-1) + b(4-1) a(4) = a(3) + b(3) → b(3) = a(4) – a(3) → b(3) = 5 – 2 portanto b(3) = 3 Para j =3 R(6) = a(6) / b(6) Mas R(6)= 13/8 por identidade a(6)=13 e b(6) =8 Do enunciado a(2j + 1) = a(2j) a(6 + 1) = a(6) → a(6) = a(7) portanto a(7) = 13 Do enunciado a(2j) = a(2j-1) + b(2j-1) a(6) = a(6-1) + b(6-1) → a(6) = a(5) + b(5) → b(5) = a(6) – a(5) → b(5) = 13 – 8 portanto b(5) = 5 a(1, 2, 2, 5, 5,13, 13...) b(1, 1, 3, 3, 8, 8...) Verificando: a(2j + 1) = a(2j) e a(2j) = a(2j-1) + b(2j-1) p/j = 1 a(3) = a(2) e a(2) = a(1) + b(1) 2 = 2 e 2 = 1 + 1 (OK) p/j = 2 a(5) = a(4) e a(4) = a(3) + b(3) 5 = 5 e 5 = 2 + 3 (OK) p/j = 3 a(7) = a(6) e a(6) = a(5) + b(5) 13 = 13 e 13 = 5 + 8 (OK) ... ... |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 01 dez 2016, 20:00 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Associação de resistores em progressão |
Parece-me que está bem  Mas julgo que o objetivo seria fazer a demonstração de uma forma geral. |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 01 dez 2016, 20:18 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Associação de resistores em progressão |
repare ainda que \(R(2j)\) para \(j\) natural, é o mesmo que dizer \(R(n)\), sendo \(n\) natural e par logo das fórmulas que coloquei em cima e do enunciado pode deduzir que \(R({2j})=\frac{a_{2j}}{b_{2j}}=R({2j}-1)+1=\frac{a_{{2j}-1}}{b_{{2j}-1}}+1\) logo \(\frac{a_{2j}}{b_{2j}}=\frac{a_{{2j}-1}}{b_{{2j}-1}}+1\) (1) E \(R(2j+1)\) é equivalente a dizer \(R(n)\), para \(n\) natural e ímpar logo \(R(2j+1)=\frac{1}{1+\frac{1}{R(2j)}}\) então \(\frac{a_{2j+1}}{b_{2j+1}}=\frac{1}{1+\frac{b_{2j}}{a_{2j}}}\) (2) só juntar (1) com (2) e está quase
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