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Suponha que \(U_{1}\) = {\(u_{1}, ...,u_{n}\)} é uma base de um espaço vetorial. Mostrar que \(U_{2}\) = {\(u_{1}, u_{1}+u_{2},...,u_{1}+u_{2}+...+u_{n}\)} também é uma base desse espaço.

Fiz da seguinte maneira:

Podemos dizer que \(U_{1}\) e \(U_{2}\) são sub-espaços vetoriais de V. Pela propriedade do sub-espaço vetorial, temos que \(U_{2}\) \(\subset\) \(U_{1}\), uma vez que \(U_{2}\) possui as somas dos termos de \(U_{1}\). Logo, se \(U_{1}\) é linearmente independente (L.I.), \(U_{2}\) também é L.I. e, portanto, uma base.

O que acham? Está correto?

Não confunda base para um espaço vetorial com o espaço em si . Devemos provar que o conjunto \(U_2\) é uma base para o mesmo espaço vetorial gerado por \(U_1\) , i.e, devemos mostrar que um vetor arbitrário de tal espaço é meramente combinação linear dos vetores de \(U_2\) e que tais vetores são L.I .

Seja \(X\) o espaço gerado por \(U_1\) .
Escreva \(v_i := \sum_{k=1}^i u_i\) . Claro que \(U_2\) gera \(u_i\) para \(i = 1\) . Para o caso em que \(i > 1\) , podemos escrever \(v_i = v_{i-1} + u_i\) , donde \(u_i = v_i - v_{i-1}\) , ou seja \(U_2\) também gera \(u_i\) para \(i > 1\) . Agora use o fato que um vetor arbitrário de \(X\) se exprime como combinação linear \(\sum_k \alpha_k u_k\) para concluir que tal vetor é meramente combinação linear dos \(v_{i} 's\)

Tente mostrar que os vetores v_i's são L.I .(Dica : Não é necessário tomar uma combinação linear nula dos v_i's e mostrar que todos coeff's são iguais a zero . Usa o fato que U_1 é base por hipótese para concluir que \(X\) tem dimensão \(n\) ... Aplique o resultado acima estabelecido para mostra que tais v_i's são L.I )

Para ser sincero, entendi muito pouco da sua resposta. Me falta base matemática para compreender tudo. Além disso, você escreveu vetores u somando com vetores v que não entendi de onde surgiram.

Poderia, por gentileza, escrever usando outra notação?