Fórum de Matemática
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Quais são as condições de existência para sistemas de equações, tipo:
Para que esse sistema seja possível, quais devem ser os valores de \(a\), \(b\) e \(c\):
\(\begin{cases} x + 2y + 3z = a \\ y + 2z = b \\ 3x - y -5cz = 0 \end{cases}\)

Olá Martix,
seja bem-vindo(a) ao fórum!

Um sistema é possível quando admite solução. Ele pode ser:
- determinado ===> ÚNICA solução;
- indeterminado ==> INFINITAS soluções.

Através do determinante podemos discutir o sistema, veja:
- Se o determinante \(\fbox{D \neq 0}\), o sistema será POSSÍVEL DETERMINADO;
- Se \(\fbox{D = 0}\), o sistema poderá ser POSSÍVEL INDETERMINADO ou IMPOSSÍVEL.

Nota: se estivéssemos diante de um sistema onde as variáveis fossem apenas \(x, y, z\), faríamos \(\fbox{D \neq 0}\), pois, teríamos a resposta de forma mais rápida/direta. No entanto, temos \(a, b, c\), então, presumimos que haja infinitas soluções fazendo o determinante igual a zero.

Calculemos \(D\):

\(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 3 & - 1 & - 5c \end{bmatrix} = 0\)

\(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & | 0 & 1 \\ 3 & - 1 & - 5c &| 3 & - 1\end{bmatrix} = 0\)

\(- 5c + 12 - 9 + 2 = 0\)

\(- 5c = - 5\)

\(\fbox{\fbox{c = 1}}\)


Calculemos \(D_x\):

\(\begin{bmatrix} a & 2 & 3 \\ b & 1 & 2 \\ 0 & - 1 & - 5c \end{bmatrix} = 0\)

\(\begin{bmatrix} a & 2 & 3 \\ b & 1 & 2 \\ 0 & - 1 & - 5 \end{bmatrix} = 0\)

\(\begin{bmatrix} a & 2 & 3 & | a & 2 \\ b & 1 & 2 & | b & 1 \\ 0 & - 1 & - 5 &| 0 & - 1\end{bmatrix} = 0\)

\(- 5a - 3b + 2a + 10b = 0\)

\(- 3a + 7b = 0\)

\(\fbox{\fbox{a = \frac{7b}{3}}}\)


Lembrando que consideramos o sistema como indeterminado (infinitas soluções), logo, atribuindo valores a \(b\) teremos \(a\).
Daí,

\(\fbox{\fbox{\fbox{a = \frac{7t}{3}}}}\)

\(\fbox{\fbox{\fbox{b = t}}}\)

\(\fbox{\fbox{\fbox{c = 1}}}\)

Nota: \(t\) é uma variável qualquer!

Comente qualquer dúvida!

Daniel F.

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Daniel Ferreira
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