Calcular sistema 3 variáveis usando determinante

[RODOLFO RAMENZONI]

Calcular G- P por meio do determinante de M

2G + 3M + 1P = 21,20

3G + 2M + 1P = 22,80

3G + 3M + 3P = 30,00

[Branco]

Olá,

Por meio de determinantes, podemos chegar a uma resposta a esse sistema de equações, vamos lá:

Vamos transformar as equações para facilitar o cálculo:

2G + 3M + 1P = 21,20 <> 10G + 15M + 5P = 106 (multipliquei por 5)

3G + 2M + 1P = 22,80 <> 15G + 10M + 5P = 114 (multipliquei por 5)

3G + 3M + 3P = 30,00 <> G + M + P = 10 (dividi por 3)

Em forma de determinantes:

\(\begin{vmatrix} 10& 15& 5\\ 15& 10&5 \\ 1&1 &1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 106\\ 114\\ 10 \end{vmatrix}\)

Determinante da matriz 3x3:

\(detA=\begin{vmatrix} 10& 15& 5\\ 15& 10&5 \\ 1&1 &1 \end{vmatrix}\)

det=(100+75+75)-(50+225+50)=
det=-75

\(detG=\begin{vmatrix} 106& 15& 5\\ 114& 10&5 \\ 10&1 &1 \end{vmatrix}\)

detG=(1060+750+570)-(500+530+1710)=
detG=-360

\(detM=\begin{vmatrix} 10& 106& 5\\ 15& 114&5 \\ 1&10 &1 \end{vmatrix}\)

detM=(1140+530+750)-(570+1590+500)=
detM=-240

\(detP=\begin{vmatrix} 10& 15& 106\\ 15& 10&114 \\ 1&1 &10 \end{vmatrix}\)

detP=(1000+1710+1590)-(1060+1140+2250)=
detP=-150

Com os determinantes, temos:

\(G=\frac{detG}{detA} <> G=\frac{-360}{-75} <> G=4,8\)

\(M=\frac{detM}{detA} <> M=\frac{-240}{-75} <> M=3,2\)

\(P=\frac{detP}{detA} <> P=\frac{-150}{-75} <> P=2\)

É isso aí!

[RODOLFO RAMENZONI]

maravilha! é mais rápido resolver por determinante ou trabalhando as 3 equações?

[Sobolev]

A resolução "por determinantes", a chamada regra de Cramer, apenas é uma opção razoável para sistemas muito pequenos. O número de operações necessárias ao cálculo dos determinantes envolvidos torna-se rapidamente proibitivo.

[RODOLFO RAMENZONI]

Muito obrigado Sobolev!