Boa noite, meus caros!
Gostaria que vocês confirmassem se minha resolução esta correta, pois a resposta do livro é apenas uma das soluções que encontrei, porém, por ser uma edição antiga, o gabarito não é muito confiável! Segue o exercício D17 da 5ª edição de Fundamentos de matemática elementar vol. 4:
D17- Obter 5 números reais em P.A., sabendo que sua soma é 5 e a soma de seus inversos é 563/63.Minha resolução:
Como são 5 termos trabalharei com a sequencia: (a - 2r, a - r, a, a + r, a +2r), logo:
\(I) a-2r + a-r + a + a+r + a-2r= 5 \Rightarrow a=1\)
\(II)1/(a-2r)+ 1/(a-r) + 1 + 1/(a+r) + 1/(a+2r)= 563/63\)
Substituindo I em II e resolvendo a equação, passando o número 1 para o outro lado da equação II:
\(II) 2/(-r^{2}+1) + 2/(-4r^{2}+1)=563/63 - 63/63\)
Resultando em:
\(2000r^{4}-1870r^{2}+248{=}0\)
Nomeando r² por x, tem-se:
\(1000x^{2} - 935x + 124{=} 0\)
Cuja raízes são: x'= 4/25 e x"=31/40. Como x=r², tem-se as 4 constantes:
\(-2/5; 2/5; -\sqrt{31/40}; \sqrt{31/40}\)
Logo minhas PAs (minha resposta) são:
\(I) (1/5, 3/5, 1, 7/5, 9/5);\)
\(II) (9/5, 7/5, 1, 3/5, 1/5);\)
\(III) (1+2\sqrt{31/40}, 1+\sqrt{31/40}, 1, 1-\sqrt{31/40}, 1-2\sqrt{31/40})\)
\(IV)(1-2\sqrt{31/40}, 1-\sqrt{31/40}, 1, 1+\sqrt{31/40}, 1+2\sqrt{31/40})\)
Está correto cada uma dessas PAs para este exercício?Resposta do livro: (1/5, 3/5, 1, 7/5, 9/5)
Editado pela última vez por
Baltuilhe em 22 ago 2017, 07:55, num total de 1 vez.
Razão: Correção do LaTeX