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Resultados Omitidos? - Progressão Aritmética (PA) - Fundamentos de matemática elementar vol. 4 (ex. D17)
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Autor:  Analisador [ 22 ago 2017, 01:42 ]
Título da Pergunta:  Resultados Omitidos? - Progressão Aritmética (PA) - Fundamentos de matemática elementar vol. 4 (ex. D17)

Boa noite, meus caros!

Gostaria que vocês confirmassem se minha resolução esta correta, pois a resposta do livro é apenas uma das soluções que encontrei, porém, por ser uma edição antiga, o gabarito não é muito confiável! Segue o exercício D17 da 5ª edição de Fundamentos de matemática elementar vol. 4:

D17- Obter 5 números reais em P.A., sabendo que sua soma é 5 e a soma de seus inversos é 563/63.

Minha resolução:
Como são 5 termos trabalharei com a sequencia: (a - 2r, a - r, a, a + r, a +2r), logo:
\(I) a-2r + a-r + a + a+r + a-2r= 5 \Rightarrow a=1\)
\(II)1/(a-2r)+ 1/(a-r) + 1 + 1/(a+r) + 1/(a+2r)= 563/63\)

Substituindo I em II e resolvendo a equação, passando o número 1 para o outro lado da equação II:
\(II) 2/(-r^{2}+1) + 2/(-4r^{2}+1)=563/63 - 63/63\)

Resultando em:


\(2000r^{4}-1870r^{2}+248{=}0\)


Nomeando r² por x, tem-se:

\(1000x^{2} - 935x + 124{=} 0\)


Cuja raízes são: x'= 4/25 e x"=31/40. Como x=r², tem-se as 4 constantes:
\(-2/5; 2/5; -\sqrt{31/40}; \sqrt{31/40}\)

Logo minhas PAs (minha resposta) são:
\(I) (1/5, 3/5, 1, 7/5, 9/5);\)
\(II) (9/5, 7/5, 1, 3/5, 1/5);\)
\(III) (1+2\sqrt{31/40}, 1+\sqrt{31/40}, 1, 1-\sqrt{31/40}, 1-2\sqrt{31/40})\)
\(IV)(1-2\sqrt{31/40}, 1-\sqrt{31/40}, 1, 1+\sqrt{31/40}, 1+2\sqrt{31/40})\)


Está correto cada uma dessas PAs para este exercício?










Resposta do livro: (1/5, 3/5, 1, 7/5, 9/5)

Autor:  Baltuilhe [ 22 ago 2017, 08:01 ]
Título da Pergunta:  Re: Resultados Omitidos? - Progressão Aritmética (PA) - Fundamentos de matemática elementar vol. 4 (ex. D17)  [resolvida]

Boa noite!

Verifiquei as respostas e estão todas corretas!

Espero ter ajudado!

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