Mostrar que 0<An<C/(3n^2) dada a sucessão
03 mai 2018, 19:15
Boa tarde tenho alguma dificuldade em resolver a questão em anexo.
Alguém me poderia dar umas luzes? Obrigado
Alguém me poderia dar umas luzes? Obrigado
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Re: Mostrar que 0<An<C/(3n^2) dada a sucessão
03 mai 2018, 20:19
Como a raiz cúbica é uma função crescente, vê imediatamente que \(\sqrt[3]{n^3+c}-n > \sqrt[3]{n^3}-n = 0\), o que mostra uma das desigualdades. Agora, usando a sugestão, juntamente com a regra de Ruffini, pode ver que
\((n+a_n)^3 = n^3+c \Leftrightarrow (n+a_n)^3 - n^3 =c \Leftrightarrow (n+a_n -n)((n+a_n)^2+n (n+a_n)+n^2) = c\Leftrightarrow
a_n = \dfrac{c}{(n+a_n)^2+n^2+n a_n + n^2}\)
Como \(a_n >0\), pode ainda dizer que
\(a_n = \dfrac{c}{(n+a_n)^2+n^2+n a_n + n^2}< \dfrac{c}{(n+0)^2+n^2+n \cdot 0 + n^2} = \frac{c}{3n^2}\)
\((n+a_n)^3 = n^3+c \Leftrightarrow (n+a_n)^3 - n^3 =c \Leftrightarrow (n+a_n -n)((n+a_n)^2+n (n+a_n)+n^2) = c\Leftrightarrow
a_n = \dfrac{c}{(n+a_n)^2+n^2+n a_n + n^2}\)
Como \(a_n >0\), pode ainda dizer que
\(a_n = \dfrac{c}{(n+a_n)^2+n^2+n a_n + n^2}< \dfrac{c}{(n+0)^2+n^2+n \cdot 0 + n^2} = \frac{c}{3n^2}\)