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Considere a função afim f(x) cujo gráfico passa pelo ponto (8,3) e intersecta os eixos coordenados nos pontos (a, 0) e (0, -B-1), onde A e B são números reais positivos. Determine a expressão de f(x) sabendo que AB=8.

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Olá!

Matematiquei Escreveu:
Considere a função afim f(x) cujo gráfico passa pelo ponto (8,3) e intersecta os eixos coordenados nos pontos (A, 0) e (0, -B-1), onde A e B são números reais positivos. Determine a expressão de f(x) sabendo que AB=8.


De acordo com o enunciado, a função \(\mathbf{f}\) é afim, então consideremos \(\mathbf{f(x) = \alpha x + \beta}\).

Condição I: \(\mathbf{(8, 3) \in f}\)

\(\mathbf{f(x) = \alpha x + \beta}\)

\(\mathbf{f(8) = 8 \alpha + \beta}\)

\(\mathbf{8 \alpha + \beta = 3 \qquad \qquad \qquad \qquad (i)}\)



Condição II: \(\mathbf{(A, 0), (0, - B - 1) \in f}\) com \(\mathbf{A, B \in \mathbb{R}_{+}}\)

\(\begin{cases} \mathbf{f(A) = \alpha \cdot A + \beta} \\ \mathbf{f(0) = \alpha \cdot 0 + \beta} \end{cases}\)

\(\begin{cases} \mathbf{0 = \alpha \cdot A + \beta} \\ \mathbf{- B - {1} = {0} + \beta} \end{cases}\)

\(\begin{cases} \mathbf{\beta = - \alpha \cdot A \qquad \qquad (\ast)} \\ \mathbf{\beta = - B - 1 \qquad \qquad (\ast \ast)} \end{cases}\)

Substituindo (**) em (*),

\(\mathbf{\beta = - \alpha \cdot A}\)

\(\mathbf{(- B - 1) = - \alpha \cdot A}\)

\(\mathbf{\alpha = \dfrac{B + 1}{A} \qquad \qquad (\ast \ast \ast)}\)


Por conseguinte, substituímos (**) e (***) em (i), veja:

\(\mathbf{8 \alpha + \beta = 3}\)

\(\mathbf{8 \cdot \dfrac{B + 1}{A} + (- B - 1) = 3}\)

\(\mathbf{\dfrac{8(B + 1)}{A} = B + 4}\)


Condição III: \(\mathbf{A \cdot B = 8}\)

\(\mathbf{\dfrac{8(B + 1)}{A} = B + 4}\)

\(\mathbf{8 \cdot (B + 1) = A \cdot (B + 4)}\)

\(\mathbf{8 \cdot (B + 1) = \dfrac{8}{B} \cdot (B + 4)}\)

\(\mathbf{(B + 1) = \dfrac{B + 4}{B}}\)

\(\mathbf{B^2 + B = B + 4}\)

\(\boxed{\mathbf{B = \{ 2 \}}}\)


Daí, \(\boxed{\mathbf{A = \{ 4 \}}}\).

Logo, temos que:

\(\mathbf{f(x) = \alpha x + \beta}\)

\(\mathbf{f(x) = \dfrac{B + 1}{A} \cdot x + (- B - 1)}\)

\(\mathbf{f(x) = \dfrac{2 + 1}{4} x + (- 2 - 1)}\)

\(\boxed{\boxed{\mathbf{f(x) = \dfrac{3}{4} x - 3}}}\)

_________________
Daniel Ferreira
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Editado pela última vez por danjr5 em 18 Oct 2020, 13:27, num total de 1 vez.
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