Olá!
Matematiquei Escreveu:Considere a função afim f(x) cujo gráfico passa pelo ponto (8,3) e intersecta os eixos coordenados nos pontos (A, 0) e (0, -B-1), onde A e B são números reais positivos. Determine a expressão de f(x) sabendo que AB=8.
De acordo com o enunciado, a função \(\mathbf{f}\) é afim, então consideremos \(\mathbf{f(x) = \alpha x + \beta}\).
Condição I: \(\mathbf{(8, 3) \in f}\)
\(\mathbf{f(x) = \alpha x + \beta}\)
\(\mathbf{f(8) = 8 \alpha + \beta}\)
\(\mathbf{8 \alpha + \beta = 3 \qquad \qquad \qquad \qquad (i)}\)
Condição II: \(\mathbf{(A, 0), (0, - B - 1) \in f}\) com \(\mathbf{A, B \in \mathbb{R}_{+}}\)
\(\begin{cases} \mathbf{f(A) = \alpha \cdot A + \beta} \\ \mathbf{f(0) = \alpha \cdot 0 + \beta} \end{cases}\)
\(\begin{cases} \mathbf{0 = \alpha \cdot A + \beta} \\ \mathbf{- B - {1} = {0} + \beta} \end{cases}\)
\(\begin{cases} \mathbf{\beta = - \alpha \cdot A \qquad \qquad (\ast)} \\ \mathbf{\beta = - B - 1 \qquad \qquad (\ast \ast)} \end{cases}\)
Substituindo (**) em (*),
\(\mathbf{\beta = - \alpha \cdot A}\)
\(\mathbf{(- B - 1) = - \alpha \cdot A}\)
\(\mathbf{\alpha = \dfrac{B + 1}{A} \qquad \qquad (\ast \ast \ast)}\)
Por conseguinte, substituímos (**) e (***) em (i), veja:
\(\mathbf{8 \alpha + \beta = 3}\)
\(\mathbf{8 \cdot \dfrac{B + 1}{A} + (- B - 1) = 3}\)
\(\mathbf{\dfrac{8(B + 1)}{A} = B + 4}\)
Condição III: \(\mathbf{A \cdot B = 8}\)
\(\mathbf{\dfrac{8(B + 1)}{A} = B + 4}\)
\(\mathbf{8 \cdot (B + 1) = A \cdot (B + 4)}\)
\(\mathbf{8 \cdot (B + 1) = \dfrac{8}{B} \cdot (B + 4)}\)
\(\mathbf{(B + 1) = \dfrac{B + 4}{B}}\)
\(\mathbf{B^2 + B = B + 4}\)
\(\boxed{\mathbf{B = \{ 2 \}}}\)
Daí, \(\boxed{\mathbf{A = \{ 4 \}}}\).
Logo, temos que:
\(\mathbf{f(x) = \alpha x + \beta}\)
\(\mathbf{f(x) = \dfrac{B + 1}{A} \cdot x + (- B - 1)}\)
\(\mathbf{f(x) = \dfrac{2 + 1}{4} x + (- 2 - 1)}\)
\(\boxed{\boxed{\mathbf{f(x) = \dfrac{3}{4} x - 3}}}\)
Editado pela última vez por
danjr5 em 18 Oct 2020, 13:27, num total de 1 vez.
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