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MensagemEnviado: 05 nov 2019, 02:05 
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Boa noite! sempre aprendi que As seguintes regras, usando determinantes, são válidas para determinar qual tipo de sistema temos:
(Sendo "D" o determinante da matriz dos coeficientes dos sistema)
D ≠ 0 - Sistema Possível e Determinado (SPD)
D = 0
Se Dx = Dy = Dz = 0 trata-se de um Sistema Possível Indeterminado (SPI)
Se Dx OU Dy OU Dz ≠ 0, trata-se de um Sistema Impossível (SI).

Porém, ao resolver o sistema abaixo, ele possuiu todos os determinantes (D, Dx, Dy e Dz = 0 ) então, a princípio seria um SPI. Só que quando fui verificar a resolução por escalonamento, cheguei em uma equação que era "0 = 3", ou seja, se tratava de um Sistema Impossível e não um sistema SPI. Além disso, para confirmar, lancei as 3 equações do sistema no Geogebra e os 3 planos formados eram paralelos, ou seja, tratando-se mesmo de um SI (Se fosse SPI seriam 3 planos coincidentes).

SISTEMA:
x + y - z =1
2x + 2y - 2z = 3
4x + 4z - 4z = 7

E agora fica minha dúvida:
Aquelas regras acima realmente seriam sempre válidas? Se sim, porque não serviram para esse caso? Ou eu que fiz algo de errado?

Obrigada!


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MensagemEnviado: 06 nov 2019, 22:23 
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Antes de mais não estou certo do que são Dx, Dy e Dz. Calculo que sejam os determinantes das matrizes que se obtêm substituindo uma coluna da matriz dos coeficientes A pelo vetor coluna b (isto no sistema \(A{\bf x}=b\)). Se for isso, é verdade, e não é difícil demonstar*, que se D=0 e o sistema tem solução então Dx=Dy=Dz=0. Ou seja, é verdade a segunda condição:
Citar:
Se Dx OU Dy OU Dz ≠ 0 (e D=0), trata-se de um Sistema Impossível (SI).

No entanto, a reciproca só é válida se a matriz A tiver pelo menos duas colunas linearmente independente. Se todas as colunas de A forem múltiplos escalares de um dado vetor, então Dx=Dy=Dz=0 qualquer que seja o b (podendo portanto naõ haver solução para \(A{\bf x}=b\)).

*Se, sem perda de generalidade, Dz ≠ 0 teriamos que qualquer vetor do espaço seria uma combinação linear das duas primeiras colunas de A e o vetor b. Como, para existir solução, b tem de ser combinação linear das colunas de A, teríamos que qualquer vetor do espaço seria uma combinação linear das colunas de A o que contradiz D=0.


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