problema com progressão aritmética + algebra

[astronauta]

Obter uma P.A. crescente formada por números inteiros e consecutivos de modo que a soma de seus cubos seja igual ao quadrado da sua soma.
Resposta: {-1,0,1} ou {0,1,2} ou {1,2,3}

montei a expressão de igualdade abaixo para tentar encontrar valores para x que possam ser usados para gerar a P.A. procurada.

\(x^3+(x+1)^3 + (x+2)^3 = (x+x+1+x+2)^2\)

cheguei na seguinte equação cuja raiz encontrada foi 0:
\(3x^3-x^2+4x-1=0\)

Com isso consigo encontrar a primeira resposta: {-1,0,1} porém não encontro as outras.

[lucasmb254]

Primeiro: zero não raiz da sua equação. Não sei como chegou nisso, mas está errado.
Segundo: mesmo que zero fosse raiz da equação, você teria a seguinte P.A. {0;1;2} e não {-1,0,1}

Pois bem, vamos recomeçar.
Como se trata de uma P.A. de termos consecutivos vamos representa-la por {a-1;a;a+1} (isso facilitará as contas por vir)
\((a-1)^3+a^3+(a+1)^3=(a-1+a+a+1)^2\)
Disso chegamos em \(3a^3-9a^2+6a=0 \rightarrow 3a(a-1)(a-2)=0 \rightarrow a=0 ; a=1;a=2\)

Logo a P.A. {a-1;a;a+1} pode assumir as formas: {-1;0;1} {0;1;2} {1;2;3}