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| progressão geométrica https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=22&t=194 |
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| Autor: | marques_gc [ 08 fev 2012, 02:39 ] |
| Título da Pergunta: | progressão geométrica |
Boas, Estou com dificuldades em finalizar o seguinte exercício, pelo que agradeço a vossa colaboração. Enunciado: Uma progressão geométrica estritamente decrescente definida em IN*, todos os termos são positivos. 1°) Sabendo que temos \(U_{1}U_{3}= 144\) e \(U_{1}+ U_{2} + U_{3}= 63\). Determine a progressão \(\left (U_{n \right )\). 2°) Calcule \(U_{n}\) e \(S= U_{1}+U_{2}+...+ U_{n}\) em função do n. Consegui o seguinte avanço: 1°) \(U_{2}=q U_{1}\) e \(U_{3}=q^{2} U_{1}\) \(U_{1}U_{3}=144\) \(\Rightarrow\) \(q^{2}U_{1}^2=12^2\) \(\Rightarrow\) \(qU_{1}=12\) sabemos que: \(U_{1}+ U_{2} + U_{3}= 63\) Então: \(U_{1}+ qU_{1} + q^2U_{1}= 63\) \(\Rightarrow\) \(U_{1}+ 12 + q(qU_{1})= 63\) \(U_{1}+ 12 + 12q= 63\) \(\Rightarrow\) \(U_{1} + 12q= 63 - 12\) \(\Rightarrow\) \(U_{1} + 12q= 51\) \(U_{1}= 51 + 12q\) como \(qU_{1}=12\), então \(q(51 - 12q)=12\) \(52q -12q^2=12\) \(\Rightarrow\) \(12q^2 - 51q + 12=0\) \(\Rightarrow\) \(4q^2-17q+4=0\) \(\Delta =b^2-4ac = (17)^2-4(4)(4)=225\) \(q_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-(-17)+\sqrt{\225 }}{2(4)}= 4\) \(q_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-(-17)-\sqrt{\225 }}{2(4)}= \frac{1}{4}\) Obtendo estes 2 resultados a minha duvida consiste dois pontos: I) Qual será o valor a designar ao \((U_{n \right )\)? II) Através do enunciado, estamos perante uma progressão geométrica, estritamente decrescente definida em IN, com todos os termos positivos. Obtenho 2 valores para q: \(q_{1}=4\) e \(q_{2}=\frac{1}{4}\) Tomei o valor de \(q_{2}=\frac{1}{4}\) como a razão da nossa progressão geométrica baseando no facto que \(q_{2}< 1\) Estou com duvidas si com o argumento mencionado encima justifica a escolha do \(q_{2}\) 2°) Estou com duvidas enquanto ao calculo de \(U_{n}\), ou melhor gostaria que me ajudem a perceber este ponto. Para \(S= U_{1}+U_{2}+...+ U_{n}\) em função do n: Sabemos que \(q\neq 1\), então \(S= U_{0}\frac{1-q^{n+1}}{1 - q}\) ??? Também gostaria de contar com o vosso parecer. Muito obrigado pelo tempo... |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 08 fev 2012, 11:30 ] |
| Título da Pergunta: | Re: progressão geométrica |
Meu caro Uma progressão geométrica é da forma \(U_n=U_1.q^{n-1}\) Ora como é decrescente, \(q<1\), assim pelas suas contas \(q=\frac{1}{4}\) Só tem de achar \(U_1\) Como sabe que \(U_1+U_2+U_3=63\) é equivalente a \(U_1+q U_1 + q^2 U_1 =63\) Como sabe \(q\) basta achar \(U_1\) para achar a forma geral \(U_n\) Para achar a Soma, basta saber \(U_1\) e a razão \(q\) \(S_n=\frac{U_1(q^{n}-1)}{q-1}\) Cumprimentos |
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| Autor: | marques_gc [ 09 fev 2012, 12:42 ] |
| Título da Pergunta: | Re: progressão geométrica |
Ola João, Consegui os resultados que encontraras mais em baixo na base do teu conselho. Espero que tenho compreendido os passos que me indicaste!!! \(U_n= 48+12+3=63\) 1°) Temos os seguintes dados: \(U_{2}=qU_{1}\) \(U_{3}=q^2U_{1}\) \(q=< 1\) ou seja \(q=\frac{1}{4}\) Então: \(U_{1}= 51 - 12\left ( \frac{1}{4} \right )=48\) \(U_{2}=\left ( \frac{1}{4} \right )48=12\) \(U_{3}=\left ( \frac{1}{4} \right )^2 \left (48 \right )=3\) \(\left (U_{n} \right )=\) a calcular ou seja: \(U_{n}= U_{1}+U_{2}+U_{3}=63\) \(U_{n}=48+12+3=63\) finalmente \(U_{n}=63\) 2°) Aqui, consegui o seguinte: \(S=\frac{U_{1}\left ( q^{n-1} \right )}{q-1}=\frac{48\left ( \frac{1}{4}^{3-1} \right )}{\frac{1}{4}-1}=-4\) Obrigado pela ajuda e agradeço o apoio novamente. |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 09 fev 2012, 13:32 ] |
| Título da Pergunta: | Re: progressão geométrica |
Apenas um pequeno detalhe \(U_n=48.(\frac{1}{4})^{n-1}\) Se reparar, ao substituir o n por 1,2,3,4... vai obter o resultado que pretende... Assim a soma (que depende de n) é: \(S_n=48.\frac{(1/4)^n-1}{1/4-1}\) e não o que colocou... Cumprimentos |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 09 fev 2012, 13:36 ] |
| Título da Pergunta: | Re: progressão geométrica |
Não pode colocar \(U_n=63\) Se coloca o termo \(n\) em \(U\), do outro lado tem de ter também o termo \(n\), pois o \(n\) é a variável que quando se coloca no \(U\) tem de ser colocada do outro lado do sinal de igual Por exemplo: \(U_n=2n^2\) \(U_n=n+3\) \(U_n=\frac{n}{n+1}\) Cumprimentos |
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| Autor: | marques_gc [ 09 fev 2012, 14:01 ] |
| Título da Pergunta: | Re: progressão geométrica |
João P. Ferreira Escreveu: Apenas um pequeno detalhe \(U_n=48.(\frac{1}{4})^{n-1}\) Se reparar, ao substituir o n por 1,2,3,4... vai obter o resultado que pretende... Assim a soma (que depende de n) é: \(S_n=48.\frac{(1/4)^n-1}{1/4-1}\) e não o que colocou... Cumprimentos Desculpa pela minha incompreensão. Significa que o calculo de \(S_n\) será feita em separado por cada um dos valores de ; \(U_{1}, U_{2},U_{3}?\)? Ou devemos tomar em conta a totalidade dos termos da equação e que no caso presente será n = 3 ? |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 09 fev 2012, 14:58 ] |
| Título da Pergunta: | Re: progressão geométrica |
O termo \(S_n\) representa a soma de todos os termos até \(n\), ou seja: \(S_1=U_1\) \(S_2=U_1+U_2\) \(S_3=U_1+U_2+U_3\) \(S_4=U_1+U_2+U_3+U_4\) \(S_5=U_1+U_2+U_3+U_4+U_5\) \(S_n=U_1+U_2+U_3+U_4+...+U_n=U_1.\frac{q^n-1}{q-1}\) |
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| Autor: | marques_gc [ 09 fev 2012, 16:34 ] |
| Título da Pergunta: | Re: progressão geométrica |
Muito obrigado, a duvida foi embora... Estava a ser complicado quando não parecia, mas a explicação foi óptima. |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 09 fev 2012, 17:45 ] |
| Título da Pergunta: | Re: progressão geométrica |
De nada meu caro Volte sempre |
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