Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Ao escalar uma montanha, um alpinista percorre 128m na primeira hora, 64m na segunda hora, 32m na terceira hora e assim por diante. Determine o tempo (em horas) necessário para complementar o percurso de 252m.

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GABRIELA AMARAL

Olá Gabriela Amaral,
boa noite!

Do enunciado tiramos:

\(\begin{cases} a_1 = 128 \\ a_2 = 64 \\ S_n = 252 \\ n = \end{cases}\)


Obtemos a razão dividindo o segundo termo pelo primeiro, então:

\(q = \frac{a_2}{a_1}\)

\(q = \frac{64}{128}\)

\(\fbox{q = \frac{1}{2}}\)


A fórmula da soma de uma P.G finita é dada por: \(S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}\).

Segue que:

\(S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}\)

\(252 = \frac{128\left [1 - \left (\frac{1}{2} \right )^n \right ]}{1 - \frac{1}{2}}\)

\(128\left ( 1 - 2^{- n} \right ) = 252 \cdot \frac{1}{2}\)

\(128\left ( 1 - 2^{- n} \right ) = 126\)

\(128 - 128 \cdot 2^{- n} = 126\)

\(2^7 \cdot 2^{- n} = 128 - 126\)

\(2^{7 - n} = 2^1\)

\(7 - n = 1\)

\(\fbox{\fbox{n = 6 \, \text{h}}}\)

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Daniel Ferreira
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