Antes de mais é preciso clarificar a definição das funções hiperbólicas. A definição usada no enunciado não é correcta, falta dividir por dois em ambos os casos...

Uma vez que \(a = 75\), para determinar h apenas temos que determinar o valor do parâmetro \(\gamma\). Como conhecemos o valor de L, o valor do parâmetro pode ser determinado resolvendo a equação

\(100 = \frac{1}{\gamma} \sinh ( 75 \gamma) \Leftrightarrow
\sinh ( 75 \gamma) - 100 \gamma = 0\)

Designando \(f(a)=\sinh ( 75 \gamma) - 100 \gamma\), queremos mostrar que f tem uma e uma só raíz no intervalo [0.01 ; 0.02]:

1. Em primeiro lugar, como f é uma função contínua e \(f(0.01) \times f(0.02)=-0.0229708 < 0\) o teorema do valor intermédio garante que existe pelo menos uma solução no intervalo em causa. A ideia é que uma função contínua não pode passar de valores negativos para positivos sem passar pelo valor zero.

2. Relativamente ao facto de essa solução ser única, basta analisar a monotonia da função. f(0.01)<1 e f começa por ser decrescente pelo que desde 0.01 até ao zero de f' não existe nenhuma raíz. A partir desse ponto f' >0, pelo que f é estritamente crescente tendo no máximo uma raíz.

Conjugando 1 e 2 conclui-se que f tem uma e uma só raíz no intervalo [0.01 ; 0.02].

Tendo uma estimativa de \(\gamma\) podemos agora estimar a "flecha"..

Essa é a equação que, depois de resolvida, permite encontrar o valor de gama, já o valor de h vai depender do valor estimado de gama... Talvez se publica todas as alíneas seja mais fácil perceber a intenção de quem fez o enunciado.