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| Questão de Progressão Aritmética https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=22&t=3240 |
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| Autor: | pedrohmc [ 01 ago 2013, 01:16 ] |
| Título da Pergunta: | Questão de Progressão Aritmética |
Durante o mesmo período, dois irmãos depositaram, uma vez por semana, em seus respectivos cofrinhos uma determinada quantia, da seguinte forma: o mais novo, depositou, na primeira semana, R$ 1,00, na segunda R$ 2,00, na terceira, R$ 3,00 e assim, sucessivamente, enquanto que o mais velho colocou R$ 10,00 semanalmente até que ambos atingissem a mesma quantidade de dinheiro. Não havendo retirada em nenhum dos cofrinhos, a quantia que cada irmão obteve ao final desse período, em R$, foi de a) 19. b) 21. c) 190. d) 210. e) 290. A resposta é a letra c, como eu chego nela? |
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| Autor: | Mauro [ 01 ago 2013, 14:23 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Questão de Progressão Aritmética |
pedrohmc Escreveu: Durante o mesmo período, dois irmãos depositaram, uma vez por semana, em seus respectivos cofrinhos uma determinada quantia, da seguinte forma: o mais novo, depositou, na primeira semana, R$ 1,00, na segunda R$ 2,00, na terceira, R$ 3,00 e assim, sucessivamente, enquanto que o mais velho colocou R$ 10,00 semanalmente até que ambos atingissem a mesma quantidade de dinheiro. Não havendo retirada em nenhum dos cofrinhos, a quantia que cada irmão obteve ao final desse período, em R$, foi de a) 19. b) 21. c) 190. d) 210. e) 290. A resposta é a letra c, como eu chego nela? Vamos ver. Como se fala de soma de valores de uma progressão aritmética, podemos escrever que, no caso do irmão mais novo, \(S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}\) Nós não sabemos o fim porque ele tem de combinar com o fim do irmão mais velho, mas podemos parcialmente escrever para o mais novo \(S_1 = \frac{n(1+a_n)}{2}\) Já o montante do irmão mais velho dispensa esta fórmula, pois seus pagamentos são sempre fixos, de modo que o último que combinará com o do irmão mais novo é meramente a multiplicação do primeiro valor até este último. Assim, \(S_2 = 10n\) O que nos interessa é o montante igual, então \(\frac{n(1+a_n)}{2} = 10n\) Agora é álgebra: \(\frac{(1+a_n)}{2} = 10\) \(1+a_n = 2 \times 10\) \(a_n = 19\) Ou seja, a igualdade se dá quando o irmão mais novo faz o depósito de 19,00. Como ele deposita sempre +1,00 a cada semana, então será o 19o. pagamento também. Sendo o 19o. pagamento, também será o do irmão mais velho. Como sabemos que o irmão mais velho deposita sempre o mesmo valor (10,00), serão 19 x 10,00. Como prova extra, você pode voltar lá em cima em \(S_1\) e resolver, que ficaria \(S_1 = \frac{19(1+19)}{2}=190,00\) Abração Mauro |
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