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Os conjuntos A, B e C possuem elementos em comum. As quantidades de elementos de todas as possíveis intersecções definidas a partir desses conjuntos, juntamente com as quantidades dos elementos dos conjuntos A, B e C, formam uma progressão aritmética de sete termos de razão R não nula. Sabendo-se que a intersecção dos três conjuntos possui R elementos, a quantidade de elementos pertecente à união dos conjuntos A, B e C é:
a) 10R
b) 7R
c) 12R
d) 15R
e) 18R

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Daniel Ferreira
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É só questão de usar a fórmula \(|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|\).
É fácil verificar as seguintes factos:
\(|A\cap B\cap C|=R\) é o menor dos valores,
\(|A|\) é maior que \(|A\cap B|\) e \(|A\cap C|\)
\(|B|\) é maior que \(|A\cap B|\) e \(|B\cap C|\)
\(|C|\) é maior que \(|A\cap C|\) e \(|B\cap C|\)

Assim, supondo sem perda de generalidade que \(|A|\) é o menor de \(|A|\), \(|B|\) e \(|C|\), então temos dois casos:

1º- \(|A|>|B\cap C|\), neste caso temos \(|A\cup B\cup C|=7R+6R+5R-4R-3R-2R+R=10R\).

ou

2º- \(|A|<|B\cap C|\), neste caso temos \(|A\cup B\cup C|=7R+6R+4R-5R-3R-2R+R=8R\).

Nas opções só contempla o primeiro caso.

Obrigado Rui Carpentier!

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Daniel Ferreira
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