Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Dado o sistema:

\(\begin{cases} kx + 2y = 0 \\ 8x + ky = 0 \end{cases}\)

a) S.I, se \(k = 4\) ou \(k = -4\)

b) S.P, se \(k = 4\), e \((2,4)\) é solução.

c) S.P, se \(k = -4\)

d) tem solução única se \(k \neq 4\).

e)S.I, se \(k \neq 4\) ou k = -4

Resolvendo o sistema:

\(\begin{bmatrix} k & 2 & 0\\ 8 & k & 0 \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{bmatrix} k & 2 & 0\\ 0 & \frac{k^2-16}{k} & 0 \end{bmatrix}\).

Logo, para que o sistema tenha solução, devemos ter \(k^2-16=0\Rightarrow k=-4 \;ou\;k=4\), caso em que haverá infinitas soluções (sistema indeterminado).

Olá Amanda Felipe,
seja bem-vinda ao Fórum!

"Resolverei" o sistema por adição, veja:

\(\begin{cases} kx + 2y = 0 \;\; \times (- k \\ 8x + ky = 0 \;\; \times (2 \end{cases}\)

\(\begin{cases} - k^2x - 2ky = 0 \\ 16x + 2ky = 0 \end{cases} \\ -------- \\ 16x - k^2x + {0} = {0}\)

\((16 - k^2)x = 0\)

Discutamos a equação:

- a equação será impossível? Não, pois o numerador é nulo, então...;
- a equação será indeterminada se o coeficiente \(16 - k^2\) for nulo;
- a equação será determinada, e terá apenas uma raiz, se \(16 - k^2\) for não nulo.

Portanto,

=> Indeterminada:

\(\\ 16 - k^2 = 0 \\\\ k^2 = 16 \\\\ \fbox{k = \pm 4}\)


=> Determinada:

\(\\ 16 - k^2 \neq 0 \\\\ k^2 \neq 16 \\\\ \fbox{k = \neq \pm 4}\)


Daí, alternativa d!

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Daniel Ferreira
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