Ah muito obrigado..sua resolução com o triangulo retangulo ta batendo com o gabarito e eu entendi!!
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| PG em um triângulo retângulo https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=22&t=6529 |
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| Autor: | Ricardo MB [ 17 jul 2014, 12:00 ] |
| Título da Pergunta: | PG em um triângulo retângulo |
Os lados de um triângulo formam uma PG crescente. Determine a razão dessa progressão. Estou com dificuldade em montar a equação.. fiz um triangulo retangulo x, xq e xq² mas não estou conseguindo sair com isso.. Alguem? |
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| Autor: | Fraol [ 17 jul 2014, 17:50 ] |
| Título da Pergunta: | Re: PG em um triângulo retângulo |
Boa tarde, Puxa! Assim de forma genérica? Sem mais informações? Acho que a gente pode pensar algumas possibilidades: 1) Triângulo retângulo Os lados podem ser \(x, xq, xq^2\) de tal forma que \((xq^2)^2 = x^2 + (xq)^2\) o que dá \(q^4 = 1 + q^2\). Resolvendo a equação acima e considerando o valor real positivo teríamos \(q = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}\). 2) Triângulo equilátero A razão é 1. 3) Triângulo isósceles Não dá. Os lados não estariam em PG. 4) Triângulo com 3 lados distintos em tamanho Nesse caso, genérico, que imagino é o que realmente resolve a questão, creio que é melhor usar a desigualdade triangular da seguinte forma: \(xq^2 \le xq + x\) que resulta em \(x(q^2-q-1) \le 0\). Analisando o sinal da desigualdade vemos que ela só é válida para razão da PG entre as raízes \(\frac{1 ^+_- \sqrt{5}}{2}\). Indo um pouco mais, no caso do problema só poderemos considerar razões positivas. Pela desigualdade, 1/2 é um candidato a ser razão, mas se o lado for por exemplo 2 então o outros seriam 1 e 1/2 mas isso não dá um triângulo, então as razões deverão ser maiores ou iguais a 1 e menores do que ou iguais a \(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\) para termos triângulos válidos. Talvez precise de mais alguma análise mas acho que nesse ponto que cheguei dá pra avançar e o meu chefe tá chamando ... |
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| Autor: | Ricardo MB [ 18 jul 2014, 11:23 ] |
| Título da Pergunta: | Re: PG em um triângulo retângulo |
Ah muito obrigado..sua resolução com o triangulo retangulo ta batendo com o gabarito e eu entendi!!
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