Demonstração

[ivoski]

Sejam dadas n retas num plano tais que nenhuma delas e paralela a qualquer outra e que não existam três retas intersectando-se num mesmo ponto. Mostre que elas dividem o plano em (n^2 + n + 2)/2 regiões.

(Dica: Note que a (k + 1)-esima reta ca dividida em k + 1 partes. Cada parte divide uma região existente na situação com k retas em duas regiões.)

[Rui Carpentier]

No inicio havia apenas uma região (o plano inteiro). A primeira reta divide o plano em duas regiões (o nº de regiões aumentou em um). A segunda reta divide cada uma dessas regiões em dois (temos agora mais duas regiôes que anteriormente). A terceira reta cruza as outra duas retas e fica com isso divida em três partes (duas semi-retas e um segmento de reta no meio), cada uma dessa partes divide uma região em dois (temos portanto mais 3 regiões que anteriormente). Temos em geral que a (k + 1)-ésima reta cruza as anteriores k retas ficando divida em k+1 partes (duas semi-retas e k-1 segmentos de reta no meio), com cada uma dessa partes dividindo uma região em dois (temos assim que esta última reta aumenta o nº de regiões em mais k+1 que anteriormente).

Dito isto, concluímos que o nº de rgiões ao fim de n retas será:

\(1+1+2+3+...+n=1+ \frac{n(n+1)}{2}=\frac{n^2+n+2}{2}\).

Outra maneira de resolver seria olhar uma tal distribuição de retas no plano como a projeção estereográfica de uma distribuição de circunferências na esfera. Numa tal distribuição teríamos \({n \choose 2}+1\) vértices (pontos de cruzamento dos arcos), \({n \choose 2}\) desses cruzamentos iriam corresponder aos cruzamentos da retas (um por cada par de reta) e o restante seria o "infinito" da projeção (onde todas as retas se cruzam). Também teríamos \(n^2\) arcos (\(n\) por cada reta). Sabendo o nº de vértices e o nº de arcos facilmente deduz-se o nº de regiões fazendo uso da fórmula de Euler (V-A+R=2).
\(R=2-V+A=2-\left(\frac{n(n-1)}{2}+1\right)-n^2=\frac{n^2+n+2}{2}\).