Provar por indução matemática a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética

[GrangerObliviate]

Boa tarde. Alguém me consegue ajudar neste exercício.

É preciso provar por indução matemática que a soma dos termos de uma progressão aritmética é \(S_n=\frac{a_1+a_n}{2}n\)

[josesousa]

1- Verificamos para o termo inicial (assumimos que temos \(a_1\) e \(a_2\))

\(a_1+a_2 = \frac{a_1+a_2}{2}.2\) o que é verdade

2 - mostramos que, se é verdade para termos até \(a_n-1\) então é verdade também para \(a_n\)

Hipótese

\(S_{n-1}=\frac{a_1+a_{n-1}}{2}.(n-1)\)

Então

\(S_{n} = S_{n-1} + a_n=\frac{a_1+a_{n-1}}{2}.(n-1)+a_n\)

assume-se que, sendo progressão aritmética, a_n=a_{n-1}+K

e agora toca a desenvolver a última igualdade até obter \(S_n\) tal como na fórmula

[GrangerObliviate]

Olá josesousa !

Obrigado por me ter respondido. Eu cheguei exatamente até aí (embora tenha optado por ir pelo (n+1) e não pelo (n-1) mas é exatamente a desenvolver a expressão que não consigo chegar a nada em concreto :/ Devo estar a fazer alguma substituição mal ou assim, se não fosse muito incómodo acha que poderia escrever aqui o desenvolvimento da expressão? Obrigado